Ejercicio Aletas

SOLUCIÓN
A). Suposición: la transferencia de calor es estacionaria, ya que no se tiene indicación de algún cambio respecto al tiempo. La temperatura a lo largo de la aleta varia solo en la dirección X. la conductividad térmica es constante la transferencia de calor por radiación es despreciable.
Se especifica que el número de nodos en la aleta es M= 11 y su ubicación es como se muestra enla figura, entonces el espaciamiento nodal ∆X es:
∆x=LM-1=0.10 m11-1=0.10m10=0.010m
La temperatura del nodo 0 es T0=140℃ y se debe determinar a temperatura en los 10 nodos restantes. Por lo tanto, se necesita tener 10 ecuaciones con el fin de determinar de manera única, los nodos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 son interiores y se obtendrá la formación en diferencias finitas para un nodointerior general M mediante un balance de energía sobre el elemento de volumen entre nodo. Dado que la transferencia de calor es estacionaria, es decir, no hay generación de calor en la aleta y se supone que la trasferencia de calor hacia el medio es en todos los lados el balance de energía se puede expresar como:
todos los ladosQ=0→kAizqTM-1-TM∆x+kAderTM+1-TM∆x+hAcondT∞-TM=0 (1)
En este caso,las áreas de transferencia de calor será diferente para cada nodo, y mediante desarrollo matemático se pueden expresar como: Sabemos que M= 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 (ver anexo); ahora tenemos que:
Aizq=altura ×anchoM-12
Ader= altura ×anchoM+12
Acond=2∙longitud∙ancho
Para cada nodo tenemos:
Nodo 0 T0=140℃
Nodo 1
yizq:x=0 ,yizq→yizq=8e-0.80=8cm.
yder:x=2,yder→yder=8e-0.82=1.6152 cm
Aizq:2yizq∙w→Aizq=2∙8∙20=320 cm2
Ader:2yder∙w→Ader=2∙1.6152∙20=64.608 cm2
Nodo 2
yizq:x=1 ,yizq→yizq=8e-0.81=3.5946cm.
yder:x=3,yder→yder=8e-0.83=0.7257cm
Aizq:2yizq∙w→Aizq=2∙3.5946∙20=143.7853 cm2
Ader:2yder∙w→Ader=2∙0.7257∙20=29.0297 cm2
Nodo 3
yizq:x= 2,yizq→yizq=8e-0.82=1.6152cm.
yder:x=4,yder→yder=8e-0.84=0.3261cm
Aizq:2yizq∙w→Aizq=2∙1.6152 ∙20=64.6069cm2Ader:2yder∙w→Ader=2∙ 0.3261∙20=13.0439 cm2
Nodo 4
yizq:x=3 ,yizq→yizq=8e-0.83=0.7257cm.
yder:x=5,yder→yder=8e-0.85=0.1465cm
Aizq:2yizq∙w→Aizq=2∙0.7557 ∙20=29.0297cm2
Ader:2yder∙w→Ader=2∙ 0.1465∙20= 5.8610cm2
Nodo 5
yizq:x=4 ,yizq→yizq=8e-0.84=0.3260cm.
yder:x=6,yder→yder=8e-0.86=0.0658cm
Aizq:2yizq∙w→Aizq=2∙0.3260 ∙20=13.0439cm2
Ader:2yder∙w→Ader=2∙0.0658 ∙20= 2.6335cm2
Nodo 6yizq:x=5 ,yizq→yizq=8e-0.85=0.1465cm.
yder:x=7,yder→yder=8e-0.87=0.0296cm
Aizq:2yizq∙w→Aizq=2∙0.1465 ∙20=5.8610cm2
Ader:2yder∙w→Ader=2∙0.0296 ∙20= 1.1833cm2
Nodo 7
yizq:x=6 ,yizq→yizq=8e-0.86=0.0658cm.
yder:x=8,yder→yder=8e-0.88=0.0133cm
Aizq:2yizq∙w→Aizq=2∙0.0658 ∙20=2.6336cm2
Ader:2yder∙w→Ader=2∙ 0.0133∙20=0.5317 cm2
Nodo 8
yizq:x= 7,yizq→yizq=8e-0.87=0.0296cm.yder:x=9,yder→yder=8e-0.89=5.9727cm
Aizq:2yizq∙w→Aizq=2∙ 0.0296∙20=1.1833cm2
Ader:2yder∙w→Ader=2∙ 5.9727∙20= 0.2389cm2
Nodo 9
yizq:x=8 ,yizq→yizq=8e-0.88=0.0133cm.
yder:x=10,yder→yder=8e-0.810=2.6837cm
Aizq:2yizq∙w→Aizq=2∙0.0133 ∙20=0.5317cm2
Ader:2yder∙w→Ader=2∙ 2.6837∙20= 0.1073cm2
Nodo 10 (nodo de frontera, no hay yizq,areader ni promedio de áreas)
yizq:x=8 ,yizq→yizq=8e-0.88=0.0133cm.Aizq:2yizq∙w→Aizq=2∙ 0.0133∙20=0.5317cm2
Ahora para calcular Aconv de cada nodo, se utiliza la siguiente fórmula:
Aconv=2w+yizq+yder2∆x
Aconv1=220cm+ 8+1.6152cm 21cm=49.6152cm2
Aconv2=220cm+ 3.5946+0.7257cm 21cm=44.3204cm2
Aconv3=220cm+ 1.6152+0.3261cm 21cm=41.9413cm2
Aconv4=220cm+ 0.7257+0.1465cm 21cm=40.8722cm2
Aconv5=220cm+ 0.3261+0.0658cm 21cm=40.3919cm2
Aconv6=220cm+ 0.1465+0.0296cm21cm=40.1761cm2
Aconv7=220cm+ 0.0658+0.0133cm 21cm=40.0791cm2
Aconv8=220cm+ 0.0296+5.9723cm 21cm=40.0355cm2
Aconv9=220cm+ 0.01329+2.6837cm 21cm=40.016cm2
Aconv10=220cm+0.0133cm1cm=10.0266cm2
Datos obtenidos (Convertidos a metros)
Nodo | Aizq (m2) | Ader(m2) | Aconv(m2) |
1 | 0.0320 | 0.006461 | 0.004962 |
2 | 0.014378 | 0.002903 | 0.004432 |
3 | 0.006461 |...