Ejercicio algebra lineal

SUBESPACIOS VECTORIALES
1. V = {A ∈ M 2 ( R ) / Det ( A) = 0}
¿Es V ≤ M 2 ( R) ?
Respuesta:
Sean
1 0 
A1 = 

1 0 
 Det ( A1 ) = Det ( A2 ) = 0 ⇒ A1 ∧ A 2 ∈ V
6 4  
A2 = 

3 2 

¿ A1 + A2 ∈ V ?
7 4  
A1 + A2 = 
  Det ( A1 + A2 ) = −2 ⇒ A1 + A2 ∉ V ⇒
4 2 
V no es subespacio vectorial.
Obs: Si se realiza la ponderación en ambos ejemplos siguenperteneciendo ambas matrices a V.

{

}

{

}

2. Sean A = (2a, a ) / a ∈ R 2 y B = (b, b) / b ∈ R 2 subespacios vectoriales.
a) ¿ A ∩ B ≤ R 2 ?
b) ¿ A ∪ B ≤ R 2 ?

Respuesta:
a) ¿ A ∩ B ≤ R 2 ?
El único vector que pertenece tanto A como a B es el vector nulo (0,0)
el cual es un subespacio trivial por lo tanto A ∩ B ≤ R 2 .
b) ¿ A ∪ B ≤ R 2 ?
Sea v1 = (2,1) ∈ A y v 2 = (1,1) ∈ B
v1+ v 2 = (3,2) ∉ A ∪ B ⇒ A ∪ B no es subespacio vectorial de R 2 .

1


3. Sea U =  p (t ) ∈ R3 [t ] / p´(1) = 0 ∧ ∫ p (t )dt = 0
−1


¿Es U ≤ R3 [t ]?

Respuesta:
p (t ) ∈ R3 [t ] ⇒ p (t ) = at 3 + bt 2 + ct + d tal que a, b, c, d ∈ R
p´(1) = 0 ⇒ 3a + 2b + c = 0

1
 ⇒ b = −3d ∧ c = 6d − 3a
∫1 p(t )dt = 0 ⇒ b + 3d = 0 
−

3
2
U = p (t ) = at − 3dt + (6d − 3a )t +d / a, d ∈ R

{

}

Sea p (t ) ∧ q (t ) ∈ R3 [t ] ∧ α ∈ R ⇒
p (t ) = at 3 − 3dt 2 + (6d − 3a )t + d y q (t ) = At 3 − 3Dt 2 + (6 D − 3 A)t + D
P.D. αp (t ) + q (t ) ∈ U

αp(t ) + q(t ) = αat 3 − α 3dt 2 + α (6d − 3a)t + αd + At 3 − 3Dt 2 + (6 D − 3 A)t + D =
(αa + A)t 3 − 3(αd + D)t 2 + (6(αd + D) − 3(αa + A))t + (αd + D) ⇒
αp (t ) + q (t ) ∈ U

∴U ≤ R3 [t ]

4. ¿Es U = {( x, y, z) / xyz = 0} ≤ R 3 ?
u1 ∧ u 2 ∈ U
PD : u1 + u 2 ∈ U
u1 ∈ U ⇒ u1 = ( x, y, z ) ⇒ xyz = 0
u 2 ∈ U ⇒ u 2 = (a, b, c) ⇒ abc = 0
( x, y, z ) + (a, b, c) = ( x + a, y + b, z + c) ⇒ ( x + a )( y + b)( z + c) = 0
( xy + xb + ya + ab)( z + c) = 0
xyz + xyc + xzb + xbc + yza + yac + zab + abc = 0

Al multiplicar resultan algunas expresiones ( xyc, xzb, xbc, yza, yac, zab )
que su valor esdesconocido y por lo tanto no podemos asegurar que la
expresión cumpla con la igualdad, por lo tanto U no es subespacio de
R3 .

− 2 1 
y
4 − 2



5. Sea U = {A ∈ M 2 ( R ) / AP = PA} donde P = 

1 − 2 
W= 

0 − 1 
a) Pruebe que U ≤ M 2 ( R) .
b) Encuentre una base de U y dimisión de U.
c) Encuentre una base para U ∩ W .

Respuesta:
a) Pruebe que U ≤ M 2 ( R)Caracterizamos U
a b 
A ∈ M 2 ( R) ⇒ A = 

c d 
a b  − 2 1   − 2a + 4b a − 2b  
 c d   4 − 2  =  − 2c + 4 d c − 2 d   I




− 2 1  a b  − 2a + c − 2b + d  
 4 − 2  c d  =  4a − 2c 4b − 2d   II




I = II
− 2a + 4b = −2a + c 
+ a − 2b = −2b + d 

 ⇒ c = 4b ∧ d = a
− 2c + 4 d = 4 a − 2c 
+ c − 2d = 4b − 2d 




 a b
U = A= 
 / a, b ∈ R 
4b a 


Sea
 a b
x
A ∧ B ∈U ∧ α ∈ R ⇒ A = 
 ∧ B = 4 y
4b a 

PD : αA + B ∈ U ⇒
 a b  x
+
4b a  4 y

α

∴U ≤ M 2 ( R)

y   αa + x
αb + y 
 = 4(αb + y ) αa + x 
x 


y
x


b) Encuentre una base de U y dimisión de U.

1 0 0 1
U= 
, 
 ¿Es li?
0 1   4 0 
1 0 0 1 

0 1 4 0



La matrizesta escalonada por lo tanto las matrices son linealmente
independientes.
 1 0   0 1  
Base U = 
, 
  ⇒ dim(U ) = 2
 0 1   4 0  
c) Encuentre una base para U ∩ W .
1 0
0 1
A =α
 + β  4 0
0 1 


1 − 2 
A=γ

0 − 1 
α =γ 
β = −2γ 

α = β = γ = 0
α =0 
4 β = −γ 


0 0 
Base U ∩ W = 

0 0 
 a b 

1 − 2 1 0
6. SeaU = 
 ∈ M 2 ( R) / d = 2c − a ∧ b = 0 y V = 0 0 ; 1 1



 c d 

¿Es U ∪ V = M 2 ( R) ? Justifique
Respuesta:
Primero hallaremos la bases para U y V
Base para U
Caracterización
 a

0
U = 
 ∈ M 2 ( R ) / a, c ∈ R  ⇒
  c 2c − a 

1 0  0 0
U= 
; 

0 − 1 1 2
Es fácil ver que el espacio generado de u es li. Por lo tanto una base de
U...