Ejercicio cadena de markov

TAREA Nº2

Ejercicio

Si se tira una moneda balanceada repetitivamente.
i. ¿Cuál es el valor esperado de los sellos que aparecen antes de que ocurran 3 caras sucesivas?
ii.¿Cuántos lanzamientos esperados ocurrirán hasta que ocurran tres caras sucesivas?
iii. Si el primer lanzamiento resulta cara ¿Cuál es la nueva respuesta de a?
iv. Si la primeralanzada resulta cara cuántos lanzamientos se esperan hasta la ocurrencia de 3 caras sucesivas

Desarrollo

1. Sea Xn el número de caras acumuladas y n el número de lanzamientos realizados.Podemos observar que se trata de una cadena de markov en tiempo discreto ya que la variable aleatoria es una variable discreta (Xn: 0,1,2,…,N) y el tiempo es discreto (n: 1,2,…,N). Luego es posible modelarel problema como una cadena de markov.

Los estados 1, 2, 3 representan que el resultado del lanzamiento sea cara, en cambio el estado 0, representa que sea sello.
La probabilidad de que si tengocara, obtenga cara o sello en el siguiente lanzamiento es la misma e igual a 0,5. Así mismo si tengo sello, la probabilidad de obtener cara o sello en el siguiente lanzamiento es 0,5.

3 01 2
Obtengamos la matriz estocástica:
3
0
1
2

P=1000,5 00,50,50,5 00,500 000,50

I-Q=100010001-0,50,500,500,50,500= 0,5-0,5 0-0,5 1-0,5-0,5 0 1

Luegola matriz que nos entrega los valores esperados, está dada por:

N=I-Q-1=842642422

Luego el valor esperado de sellos que aparecerán antes de que ocurran tres caras sucesivas es:
Ev00=82. Para obtener la cantidad de lanzamientos esperados que han de ocurrir hasta que se consigan tres caras consecutivas, debemos tener en cuenta la matriz de los valores esperados:Ew0=j=02n0j=8+4+2=14

3. Nuevamente debemos fijarnos en la matriz que nos entrega los valores esperados, teniendo en cuenta de que esta vez el primer resultado obtenido es cara.
Ev10=6

4. Para...