Ejercicio de maximizacion

Dada la función U (X Y)=XaY1-a donde P1 es el precio para el bien X y P2 es el precio para el bien Y , con un nivel de ingreso I
1)Cual es la condición que se debe cumplir para que en el óptimo se utilice todo el ingreso?
2)Suponiendo que X e Y son mayores que 0, las funciones de demanda de ambos bienes son X=a I/ P1 y Y=(1-a)I/P2 , con estos elementos averiguar el efecto de una variaciónen el ingreso sobre la utilidad y encontrar otra manera alternativa.
3)Analizar el efecto que se produce sobre las cantidades óptimas de las variables de decisión ante una variación del ingreso

1) Planteamos el problema de maximización sujeta a restricciones con desigualdad , para luego resolver las condiciones de Khun - Tucker

Max U (X Y)=XaY1-a s.a.P1x + P2 y < I
X >0
Y >0

Armo el Lagrangeano:

L(X Y λ)= XaY1-a + λ ( I- P1x - P2 y )

(L = a Xa-1Y1-a -λP1< 0 X >0 (L X =0
(X(X

(L = 1-a XaY-a -λP2< 0 Y >0 (L Y=0
(Y (Y

(L = I- P1x - P2 y >0 λ >0 (L λ=0
(λ (λ

Tomando (L obtengo el signo de λ:
(X

(L = aXa-1Y1-a -λP1 < 0
(X

a Xa-1Y1-a < λP1 ( λ >0

Por lo tanto para garantizar que el ingreso sea utilizado por completo λ tiene que ser mayor que 0 y entonces debe (L=0.
(λ
Otra implicación que tiene esta condición λ >0 es que una ligera relajación de la restricción incrementa la cantidad .

2) Primero vamos a sacar lospuntos óptimos de la condición de primer orden , y se va a verificar que la derivada del lagrangeano según el ingreso va a ser igual a la derivada de la función de utilidad indirecta según el ingreso valuado en el optimo. Los valores de estas van a ser λ*
Así se construye las dos formas de llegar al mismo aplicando el teorema del envolvente.

L(X Y λ)= XaY1-a + λ (I- P1x - P2 y )

1) (L= a Xa-1Y1-a -λP1= 0
(X

2) (L = 1-a XaY-a -λP2= 0
(Y

3) (L = I- P1x - P2 y =0
(λ

Calculo valores de X* Y* λ* :

De 1 y 2 obtengo:

(a = a Xa-1Y1-a
P1

(b = 1-a XaY-a
P2

De la igualación de (a = (b

a Xa-1Y1-a = P1
1-a XaY-a P2

aY = P1
1-a XP2

Y = P11-a X
P2 a

De 3 obtengo X* :

I- P1x - P2 P1(1-a)X =0
P2 a

I- P1x - P1(1-a) X =0
a
I- P1x - P1x + P1x a =0
a a

X* = I a
P1

Ahora paso al cálculo deY* :

Y= P11-a I a
P2 a P1

Y*= P11-a I a
P2

Resta sacar el valor de λ* reemplazando los valores de Y* y X* :

I a a-1 I (1-a)1-a
(a = a P1 P2 (
P1= λ* = (L( X* Y*λ* )
I a a I (1-a) -a ( I
(b = 1-a P1 P2 (...