EJERCICIO MENTALES

´
´ BELLO
UNIVERSIDAD CATOLICA
ANDRES
FACULTAD DE INGENIER´IA
´
ESCUELA DE INGENIER´IA INFORMATICA
´
´
CATEDRA
DE LOGICA
COMPUTACIONAL

´
GU´IA PRACTICA
DE CONJUNTOS Y RELACIONES
BINARIAS

1. Sean los conjuntos A = {x ∈ Z : |x| ≤ 3} y B = {x ∈ Z : x2 < 7}. Determine:
A ∩ B, A ∪ B, A − B, B − A y A∆B.
2. Sea A = {1, {1}, 2}. ¿Cu´ales de las siguientes proposiciones sonverdaderas?
(a) 1 ∈ A

(b) ∅ ∈ A

(c) {1} ∈ A

(d) {1} ⊆ A

(e) {2} ∈ A

(f) {2} ⊆ A

(g) {{2}} ⊆ A

(h) {{1}} ⊆ A

3. ¿Cu´ales de las siguientes proposiciones son verdaderas?
(a) ∅ ∈ ∅

(b) ∅ ⊆ ∅

(c) ∅ ∈ {∅}

(d) ∅ ⊆ {∅}

4. Si A = {∅, a}, entonces ¿puede asegurarse que A − ∅ = {a}?
5. Para A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} determine el n´
umero de
(a) subconjuntos de A.
(b)subconjuntos no vac´ıos de A.
6. Si un conjunto A tiene 127 subconjuntos no vac´ıos, ¿Cu´antos elementos tiene A, es decir,
cu´anto vale |A| (cardinal de A)?
7. Determine los conjuntos A y B cuando A − B = {1, 3, 7, 11}, B − A = {2, 6, 8} y
A ∩ B = {4, 9}.
8. Sea el conjunto A = {1, {1}}.
(a) Determine, por extensi´on, al conjunto P(P(A)).
(b) ¿Cu´ales de los siguientes enunciados son verdaderos(V) y cu´ales son falsos (F)?
(i) {1} ∈ P(P(A))

(ii) ∅ ∈ P(P(A))

(iii) A ∈ P(P(A))

9. Sea A un conjunto. Si P(P(A)) tiene 65536 elementos, ¿cu´antos elementos tiene el conjunto A?
10. Sea A un conjunto tal que P(A) tiene 8 elementos y algunos subconjuntos de A son
{3, {a}}, {3, a} y ∅.
(a) Describa al conjunto A, por extensi´on.
(b) Describa, por extensi´on, al conjunto de partesP(A).

11. Determine si cada una de las siguientes familias de conjuntos es una partici´on para el
conjunto dado A. Si la familia no es una partici´on, explique por qu´e.
(a) A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}; A1 = {4, 5, 6}, A2 = {1, 8}, A3 = {2, 3, 7}.
(b) A = {a, b, c, d, e, f, g, h}; A1 = {d, e}, A2 = {a, c, g}, A3 = {f, h}, A4 = {b, g}.
(c) A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}; A1 = {1, 3, 7}, A2 ={2, 6}, A3 = {5, 8}.
(d) A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}; Ak = {k, k + 5}, donde 1 ≤ k ≤ 5.
12. ¿Es la familia
A = {∅, {1}, {2, 4}, {3, 5, 7}, {6, 8, 9, 0}}
una partici´on del conjunto A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}? Explique.
13. Sean
A1 = {1, 11, 21, 31, . . .}
A2 = {2, 12, 22, 32, . . .}
..
.
A20 = {20, 30, 40, 50, . . .}
¿Es la familia {A1 , A2 , . . . , A20 } una partici´onde Z+ ?. Justifique su respuesta.
14. Considerando los conjuntos
A0 = {x ∈ Z : x deja resto 0 cuando es dividido por 3}
A1 = {x ∈ Z : x deja resto 1 cuando es dividido por 3}
A2 = {x ∈ Z : x deja resto 2 cuando es dividido por 3}
¿Es la familia {A0 , A1 , A2 } una partici´on de Z? Justifique su respuesta.
15. Sea A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} y consideremos los conjuntos
A0 = {x ∈ A : x2 deja resto0 cuando es dividido por 3}
A1 = {x ∈ A : x2 deja resto 1 cuando es dividido por 3}
A2 = {x ∈ A : x2 deja resto 2 cuando es dividido por 3}
¿Es la familia {A0 , A1 , A2 } una partici´on de A? Justifique su respuesta.
16. Sea B = {x ∈ Z : 3 ≤ x ≤ 9} y consideremos los conjuntos
A1 = {x ∈ B : (x, 4) = 1}
A2 = {x ∈ B : (x, 4) = 2}
A3 = {x ∈ B : (x, 4) = 4}
donde (x, 4) denota al m´aximo com´un divisor de los n´
umeros enteros x y 4.
¿Es la familia {A1 , A2 , A3 } una partici´on de B? Justifique su respuesta.
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17. Sea A = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10} y consideremos los conjuntos
A1
A2
A3
A4

= {x ∈ A : 2| x}
= {x ∈ A : 3| x}
= {x ∈ A : 5| x}
= {x ∈ A : 7| x}

donde el s´ımbolo “| ” significa “divide a”.
¿Es la familia {A1 , A2 , A3 , A4 } una partici´on de A?Justifique su respuesta.
18. Si A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 5} y C = {3, 4, 7}, determine A × B; B × A; (A ∪ B) × C;
(A × C) ∪ (B × C).
19. Si A = {1, 2, 3} y B = {2, 4, 5}, d´e ejemplos de
(a) tres relaciones no vac´ıas de A en B.
(b) tres relaciones binarias no vac´ıas en A.
20. Sean A = {1, 2, 4, 8, 16} y B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Si (x, y) ∈ A × B, ¿es posible que se
cumpla que (2 + x, 5)...