Ejercicio resuelto método simplex

Método Simplex
Ejercicio resuelto GRUPO 7 Una empresa produce dos artículos A y B con ayuda de cuatro métodos de producción (dos por artículo). Su producción está limitada por unas disponibilidades de materias primas: 120 Kg de materia prima de A y 100 Kg de materia prima de B por semana; y por unas disponibilidades de mano de obra de 15 obreros trabajando 40 horas a la semana. Las restriccionesde fabricación se enuncian en la siguiente tabla:

Articulo A

Articulo B Límite Recursos

Método I Método II Método III Método IV M.O. Semana Materia Prima A Materia Prima B Rendimiento 1 Obrero 7 3 60 1 Obrero 8 2 55 1 Obrero 10 4 70 1 Obrero 12 3 80 15 120 100

Con esta información se pide: 1. Diseñar el proceso que me permite optimizar la producción. 2. Teniendo en cuenta que lasolución óptima se alcanza con P 1, P4 y P7, establecer que cantidad de producto se obtiene con la solución optima del problema. 3. ¿Cuál sería el rendimiento máximo que podemos obtener? 4. Que recursos quedan ociosos y en que cantidad. 5. Hallar los rendimientos marginales de todos los procesos. 6. Indicar una solución distinta a la óptima.

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Ejercicio resuelto GRUPO 7SOLUCIÓN:
1. Diseñar el proceso que me permite optimizar la producción: 1) En primer lugar planteamos la función objetivo:

Una vez planteada esta función, la maximizamos (rendimientos):

2) A continuación planteamos las restricciones:

3) Para eliminar los signos menor o igual, vamos a insertar una variable ficticia por cada una de las restricciones que tenemos, en nuestro caso, al haber 3restricciones, añadimos 3 variables ficticias: X5, X6, X7

Por tanto, nuestra función objetivo quedaría de esta forma:

Y nuestras restricciones:

Nota: véase como el conjunto de las 3 variables ficticias introducidas en las restricciones, conformarían una matriz identidad.

Ahora planteamos la Matriz de coeficientes técnicos,

(formada por las restricciones

anteriores), y la matriz derecursos disponibles, a la que llamaremos .

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Ejercicio resuelto GRUPO 7

P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 Ya tenemos planteado el diseño del proceso que me permite optimizar la producción.

2. Teniendo en cuenta que la solución óptima se alcanza con P 1, P4 y P7, establecer qué cantidad de producto se obtiene con la solución optima del problema. Paso 1: para obtener las cantidadesóptimas a producir, según el método Simplex, lo haremos mediante la resolución de matrices (existe otra opción de resolver el ejercicio por tablas), a través de la siguiente fórmula:

Despejamos la matriz X, que va a ser la que nos proporcione la información necesaria las cantidades a producir (que no tienen por qué ser las óptimas, lo explicaremos más adelante).

Paso 2: ahora escogemos unacombinación de productos cuyo número será igual al número de restricciones que tengamos (en nuestro caso 3), y con ella hallamos una matriz B0 que sustituirá a la matriz . Elegimos los productos que nos indica el enunciado: P1, P3 y P7.

P1 P3 P7 La fórmula nos quedará entonces como sigue:

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Ejercicio resuelto GRUPO 7 Paso 3: resolver mediante la fórmula indicada.

Tras hacerlos diferentes cálculos, vemos que produciremos 12 unidades de X1, 3 de X4 y 55 de X7. Mientras que del resto de variables, es decir, X2, X3, X5 y X6, no produciremos ninguna cantidad. Éste volumen de producción será válido y óptimo (determinándose por los rendimientos marginales), pero podemos comprobar como con diferentes combinaciones podemos obtener diferentes resultados, igualmente válidospero no constituirán el óptimo que buscamos.

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Método Simplex
Ejercicio resuelto GRUPO 7 3. ¿Cuál sería el rendimiento máximo que podemos obtener? El rendimiento máximo que podemos obtener se corresponderá con aquel que maximice la función de rendimientos (calculada en el apartado a):

A continuación, sustituimos cada una de las cantidades que corresponden el óptimo en la fórmula (12...