Ejercicio O

Datos
Ejercicio 86(Tipler 5ta ed)- Nombre: Juan David Alvarino Morales
Un sistema masa-muelle amortiguado oscila con una frecuencia
de 200Hz. La constante de tiempo delsistema es 2.0s. En el tiempo
t=0, la amplitud de oscilación es 6.0 cm y la energía del sistema
oscilante es 60J.
(a) ¿Cuáles son las amplitudes para oscilación parat=2s y t=4s

𝜏 = 2.0𝑠
𝑓 = 200𝐻𝑧
𝐴(0𝑠) = 6 𝑐𝑚
E(0) = 60J

Asumiendo que la amortiguación es débil 𝑊0 ≈ 𝑊, la ecuación que representa el decrecimiento de la
amplitud deoscilación con respecto al tiempo es,
Caso 1: 𝑊 ≈ 𝑊0

x(t)=A𝑒

−

𝑏
𝑡
2𝑚

= 𝐴𝑒

−

𝑡
2𝜏

, 𝝉 = 𝒎𝒃: Constante de tiempo.

Ya que parte del reposo

A(t)=𝐴0 𝑒

x(t)=A
𝐴𝑚𝑎𝑥 =𝐴(0) = 𝐴0


A(t)=6𝑒

−

−

𝑡
2𝜏

𝑡
4

Amplitud para 2s.

−

2
4

𝐴(2) = 6𝑒 = 3,639 cm


Amplitud para 4s.

−

4
4

𝐴(2) = 6𝑒 = 2,207 cm
b) ¿Cuánta energía se disipa en elprimer intervalo de 2 s y en el segundo de 2 s?
Se busca una expresión que represente el decrecimiento de la energía mecánica total en función del tiempo,

𝑃=
𝑑𝐸
𝑑𝑡

𝑑𝑬𝑑𝑡

= 𝐹𝑑 . 𝒗 = −𝑏𝒗. 𝒗 = −𝑏𝑣 2 ; 𝐹𝑑 = −𝑏𝒗 ∶ 𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖𝑔𝑢𝑎𝑑𝑜𝑟𝑎.

= −𝑏𝑣 2 (1)

La energía cinética media es igual a la mitad de la energía total.

1
1
𝑚𝑣 2 = 𝐸
2
2
𝑣2 =

𝐸
𝑚(2)

Remplazando (2) en (1) se obtiene la ecuación diferencial

𝑑𝐸
𝑑𝑡

= −𝑏

𝐸
𝑚

=>

𝑑𝐸
𝐸

=−

𝑏
𝑚

𝐸

Integrando,

𝑑𝐸
𝑏 𝑡
∫
= − ∫ 𝑑𝑡
𝑚 0
𝑬𝟎 𝐸
𝑬

𝐸
𝑏
ln ( ) = − 𝑡
𝐸0
𝑚𝑏

𝑡

𝐸(𝑡) = 𝐸0 𝑒 −𝑚𝑡 = 𝐸0 𝑒 −𝜏
 Energía disipada de 0 a 2s

𝐸(𝑡) = 𝐸0 𝑒

−

𝑡
𝜏

; ∆𝑡1 = 2𝑠 − 0𝑠= 2s ; ∆𝑡2 = 4𝑠 − 2𝑠 = 2𝑠
−

2
2

∆𝐸1 = 𝐸 (0) − 𝐸 (2) = 𝐸0 − 𝐸0 𝑒 = 𝐸0 (1− 𝑒 −1 )
= (60𝐽)(1 − 𝑒 −1 ) = 37,9 𝐽


Energía disipada de 2 a 4
−

2
2

∆𝐸2 = 𝐸 (2) − 𝐸 (4) = 𝐸1 − 𝐸1 𝑒 = 𝐸0 (1 − 𝑒 −1 )
= (37,9𝐽)(1 − 𝑒 −1 ) = 24 𝐽...