Ejercicio Óptica

Ejercicio 9:
Considerar la función de onda normalizada que corresponde al de un estado del oscilador armónico.
Obtener el valor esperado de la posición, el momento y la posición al cuadrado.
a)b)








c)
















Obtener, utilizando el operador Hamiltoniano correspondiente al oscilador, el valor esperado de la energía de esta función de onda ycomentar a qué estado corresponde.

En el problema del oscilador armónico unidimensional, el Hamiltoniano cuántico de la partícula es:


<

















ecuación de Schrödingerindependiente del tiempo:

.




Obtener la probabilidad de que la partícula se encuentre fuera de la zona clásicamente permitida.

La probabilidad de encontrar en todo el espacio (desde -∞hasta +∞) a una partícula que se encuentra en el estado basal que corresponda a un oscilador armónico simple ciertamente debe ser igual a la unidad, es decir:

Además, el oscilador armónico tiene unmovimiento acotado clásicamente y nunca su energía total se saldrá de un determinado valor constante. En este caso, nos hallamos en el Estado Fundamental, estado al que corresponde un autovalorenergético: . Así pues este autovalor supondrá la barrera que acotará el movimiento del oscilador. ¿Pero dónde se situarán estas “barreras” o “fronteras”?
-La distancia crítica,, a la que estas seencontrarán se dará justo cuando la energía potencial V(x) se ha igualado a este autovalor energético, E0, con lo cual:
Si bien clásicamente, la partícula nunca sobrepasará estas barreras, cuánticamenteesto si es posible, es decir si que existe la posibilidad de que “algo” de la partícula las sobrepase. Y esto es lo que nos disponemos a hallar.

Así pues, y con ayuda de la imagen, vemos que laintegración que se lleva a cabo
arriba, desde -∞ hasta +∞ se puede “romper” en la suma de tres integrales:
una integral que corresponde a la región clásicamente prohibida
que va desde -∞ hasta...