Ejercicio
diagrama esquemático de la grúa
representada en la fotografía, la
distancias son AB = 14.71 m, BC =
6.49 m, DC = 19.31 m, a3 = BE = 22.29
m y b3 = CE = 16.02 m. Determinar:
a) Posición de B, C y E para q2 = 49º.
b) Ecuación de la trayectoria del punto
E.
c) Límites de giro de las barras que
sean balancines.
d) Ángulo de transmisión para q2 = 49º
y 132º.Diagrama esquemático de la grúa
a3
b3
1
(Nótese donde se
tomado el origen
coordenadas globales)
ha
de
Solución
R2 R3 R1 R4
a) ecuación de cierre:
r2eiq 2 r3eiq 3 r1eiq1 r4eiq 4
r1 5.302 6.402 8.31m
5.30
39.63º
6.40
q1 arctan
r1, r2, r3, r4 datos
Dado q2
q2,q3,q4 variables
¿q3,q4?
definimos S R2 R1
seif r2eiq 2 r1eiq1
2
s r2 r12 2r1r2 cos(q1 q 2 )
r senq 2 r1sen(q1 )
f arctan 2
r cosq r cos(q )
2
2
1
1
2
s r2 r12 2r1r2 cos(q1 q 2 )
r2 senq 2 r1senq1
f arctan
r cosq r cosq
2
21
1
r1 8. 31m
r2 14. 71m
q1 39. 63º
q 2 49º
s 16. 72m
f 78.8 º
¿s,f?
caso 1
S R4 R3
if
se r4e
iq4
s2 r 2 r 2
4
3
q 4 f arccos
2sr4
s2 r 2 r 2
3
4
q3 f arccos
2sr3
r3e
iq3
¿q3,q4?
2 soluciones
q3 y q4 son funciones de q2 a
través de s(q2) y f(q2)
r3 6. 49m
r4 19. 31m
s 16. 72 m, f 78. 8º
q 4 59. 7º
q 3 2. 4º
2 soluciones
q 4 97. 9º
q 3 155. 2º
caso 2c
Las dos soluciones son simétricas respecto a DB
R2 r2eiq 2 r2 cos q2 ir2senq2 9.65 i11.10 (m)
ˆ
R2 AB 9.65i 11.10 ˆ (m)
j
R3 r3eiq 3 r3 cos q3 ir3senq3 6.48 i0.27 (m)
R BC 6.48i 0.27 ˆ (m)
ˆ
j
3
R4 r4eiq 4 r4 cos q4 ir4 senq4 9.74 i16.67 (m)
ˆ
R4 DC 9.74i 16.67 ˆ (m)
j
Posiciones de B y C
ˆ
ˆ
OB OA AB 5.30 ˆ (9.65i 11.10 ˆ) 9.65i 16.40 ˆ (m)
j
j
j
ˆ
ˆ
ˆ
OC OD DC 6.40i (9.74i 16.67 ˆ) 16.14i 16.67 ˆ (m)
j
j
Posición de E
BE BC CE
a3eifB r3eiq3 b3eifC
¿fB,fC?
caso 2c
r3eiq3 a3eifB b3ei (fC )
2
2
r3 a3 b32
f B q 3 arccos
2r3 a3
a3 22. 29m
b3 16. 02 m
r 3 6. 49m
q 3 2. 4º
r 2 b2 a 2
3
3
fC q3 arccos 3
2r3b3
f B 15º
f C 20.1º
f B 10. 2º
f C 15. 3º
2 soluciones
f B q 3 12. 6º CTE
f C q3 17. 7º CTE
a3eifB a3 cos fB ia3senfB 21.53 i5.77 m
ˆ
BE 21.53i 5.77 ˆ m
j
b3eifC b3 cos fC ib3senfC 15.04 i5.51 m
ˆ
CE 15.04i 5.51 ˆ m
j
OE OB BE
OE OC CE
x 9.65 21.53 31.18 m
E
yE 16. 40 5. 77 22.17 m
x E 16.14 15. 04 31.18 m
yE 16. 67 5. 51 22.18 m
posición de E
para q2 =49º
b) Trayectoria de E
2
s r 2 r1 2r 2 r1 cosq 1 q 2
2
r 2 senq 2 r 1senq 1
f arctan
r2 cos q 2 r 1 cos q1
r 2 a 2 b2
3
3
fB q3 arccos 3
2r3a3
OE OA AB BE
s2 r 2 r 2
4
3
q 4 f arccos
2sr4
s2 r 2 r 2
3
4
q3 f arccos
2sr3
r 2 b2 a 2
3
3
fC q3 arccos 3
2r3b3
xE (q 2 ) r2 cosq 2 a3 cos fB (m)
y E (q 2 ) 5.30 r2 senq 2 a3senfB (m)
Solución gráfica
Vector AB de longitud r2 formado
un ángulo q2 con la horizontal
Circunferencia con centro en D y radio r4
Circunferencia con centro en B y radio r3
Puntos...
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