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EJERCICIO DE TEORÍA DE JUEGOS: CÁLCULO DEL EQUILIBRIO DE
NASH EN ESTRATEGIAS PURAS Y EN ESTRATEGIAS MIXTAS

Enunciado:

Calcule los Equilibrios de Nash, tanto en estrategias puras como en estrategias mixtas,
de los siguientes juegos:
(a)

Jugador
nº 1

Jugador nº 2
X

Y

A

0,2

2,0

B

5,4

0,1

(b)

Jugador
nº 1

Jugador nº 2
X

Y

A

0, 0

1, 1B

2, 2

0, 0

SOLUCIÓN
(a) En estrategias puras es sencillo; subrayamos los mejores pagos que cada jugador
pueda obtener en función de la estrategia que el otro pueda seguir; las celdas en
las que ambos pagos estén subrayados constituirán un Equilibrio de Nash:

nº 1

Jugador

Jugador nº 2
X

Y

A

0, 2

2, 0

B

5, 4

0, 1

En este caso, por tanto, el único equilibrio de Nash en estrategias purases: (B, X).
En estrategias mixtas hay que hallar la función de pagos de cada jugador, y
desarrollar el ejercicio de la manera siguiente:
PJ1  0 pq  2 p (1  q)  5 (1  p) q  0 (1  p) (1  q)  2 p  2 pq  5q  5 pq;
PJ1  2 p  7 pq  5q

Juancarlos.aguado.franco@gmail.com

@juancaraguado

juancarlos.aguado @urjc.es

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Sacando factor común lavariable de decisión del jugador nº 1, tenemos:
PJ1  p (2  7q)  [5q]

Lo representado entre corchetes va a obtenerlo el jugador nº 1 independientemente
de cuál sea su elección pues no depende de p. El otro sumando es el que, por
tanto, nos va a interesar para conocer cuál será su decisión óptima en función de lo
que haga el otro.
Fácilmente se puede apreciar que si q  2 7, el valor delparéntesis es cero, por lo
que el jugador nº 1 será indiferente ante cualquier valor de p, pues eso no influirá
en el pago que va a recibir.
En otras palabras, si el jugador nº 2 opta por la estrategia X con probabilidad 2/7 y
por la estrategia Y con probabilidad 5/7, el jugador nº 1 obtendrá el mismo pago
utilizando la estrategia A o la estrategia B, o cualquier combinación lineal de
ambas.
Por otrolado, si q tiene un valor inferior a 2/7, el valor del paréntesis será positivo,
por lo que si el jugador nº 1 pretende maximizar su pago habrá de dar a p el valor
más alto posible, es decir, tratándose como ocurre en este caso de una probabilidad,
p debe valer 1.
Finalmente, si q tiene un valor superior a 2/7, el valor del paréntesis será negativo,
por lo que si el jugador nº 1 pretende maximizar supago habrá de dar a p el valor
más bajo posible, es decir, tratándose como ocurre en este caso de una probabilidad,
p debe valer 0.
Podríamos representar, por tanto, esta función de reacción del jugador nº 1 que nos
indica cuál es el p óptimo (p*), en función del valor de q.

q

1

2/7
1

Juancarlos.aguado.franco@gmail.com

@juancaraguado

p

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Análogamente, la función de pagos del jugador nº 2 será:
PJ 2  2 pq  0 p (1  q)  4 (1  p) q  1 (1  p) (1  q) 
 2 pq  4q  4 pq  1  p  q  pq
PJ 2   pq  3q  1  p

Sacando factor común la variable de decisión del jugador nº 2, tenemos:
PJ 2  q (3  p)  [1  p]

Del mismo modo que ocurría con el jugador nº 1, lo representado entre corchetes va
a obtenerlo eljugador nº 2 independientemente de cuál sea su elección pues no
depende de q. El otro sumando es el que, por tanto, nos va a interesar para conocer
cuál será su decisión óptima en función de lo que haga el otro jugador.
Fácilmente se puede apreciar que, sea cual sea el valor de p, el valor del paréntesis es
po-sitivo dado que p es una probabilidad y por tanto su valor está comprendido
entrecero y uno, por lo que el jugador nº 2, si pretende maximizar su pago, habrá
de dar a q el va- lor más alto posible, es decir, tratándose como en este caso de una
probabilidad, q debe valer 1.
Podríamos representar, por tanto, esta función de reacción del jugador nº 2 que nos
indica cuál es el q óptimo (q*), en función del valor de p.

q

1

1

p

Si representamos en un mismo gráfico las...