Ejercicios 1 Derivadas Parciales 2

MATEMÁTICA II
EJERCICIOS - SESIÓN 01

Funciones de varias variables. Gráfica y dominio. Derivadas parciales
1. En los siguientes ejercicios, relacione las funciones dadas con su dominio:
a)

b)

c)d)

e)

f)

2. Determine el dominio analítica y gráficamente de las siguientes funciones:
xy
a) f x, y   ln x 2  y 2  4
b) g x, y  
x y





3. Describa la gráfica y las curvas de nivel delas siguientes funciones:
a) f ( x, y)  x 2  y 2
4.

5.

b) f ( x, y)  2 x 2  2 y 2

c) f ( x, y)  x 2  y 2
d) f ( x, y)   x 2  y 2
En los siguientes ejercicios, calcular f x y f y
a)

f ( x,y)  2 x  5 y  4

b)

f ( x, y)  ln( x 2  y 2 )

c)

f ( x, y)  (sin 5x)(cos 5 y)

d) z  cos( x 2  y 2 )
x y
e) z  ln
x y
x
f) z  e sin xy

En los siguientes ejercicios, calcular f x y f yen el punto dado.

f ( x, y)  e y sin x
( , 0)
xy
b) f ( x, y ) 
(2,  2)
x y
a)

c)

f ( x, y ) 

2 xy
4x 2  5 y 2

(1, 1)

6. Una lámina de metal plana está situada en un plano XY y latemperatura T (en
grados centígrados) en el punto (x, y) es inversamente proporcional a la distancia al
origen.
a) Describa las isotermas
b) Suponiendo que la temperatura en el punto P(4 ; 3) es 40 gradoscentígrados,
encuentre una ecuación de la isoterma correspondiente a la temperatura de 20
grados centrados.
7.

Una lámina de metal plana se encuentra en un plano XY y la temperatura T en (x,
y) estádada por T  10( x 2  y 2 )2 , donde T se mide en grados x e y en centímetros.
Calcule la tasa de cambio o variación de T en el punto (1;2) con respecto a x e y :

8.

La temperatura T (en gradoscelsius) en cualquier punto (x, y) de una lámina
metálica está dada por T(x,y) = 600 - 0,75x2 - 0,75y2 donde x e y se miden en
metros.
a) Dibuja la curva isoterma (curva de nivel) de T que pasa por elpunto (2;4) y
generalice la forma de todas ellas.
b) Calcule la razón de cambio de la temperatura T en el punto (2;4) en la
dirección del eje x.
c) Grafique el vector gradiente de T en el punto...