Ejercicios 3 Matemáticas Especiales

1

CORPORACION UNIVERSITARIA
MINUTOS DE DIOS

INGENIERIA DE SISTEMAS
IX SEMESTRE

Matemáticas Especiales
Actividad 3

PRESENTADO POR:
YESSEIT GERARDO LINARES AVILA
208747

PRESENTADO A:
PROFESOR. LUIS ENRIQUE ALVARADO

VILLETA – CUNDINAMARCA

2

Ejercicio 1
Sean f : \ + → \ y p ∈ ^ . La Transformada de Laplace de f en p se define como:
0

∞

L [ f ( x) ] ( p ) = ∫ e −px f ( x) dx ,
0

Siempre que la integral exista.
L se denomina Operador de la Transformada de Laplace.
La transformada de Laplace se puede denotar de varias maneras:
L [ f ( x) ] ( p ) = F ( p ) = l ( p) .
f

A partir de la definición se puede demostrar una de las propiedades básicas más
importantes de la transformada de Laplace:
Teorema 1. 2. 2: La Transformada de Laplace es unatransformación lineal.
Demostración:
∞

(i) L f ( x) + g ( x )⎤ ( p ) = ∫ e − px ( f ( x) + g ( x ) ) dx
⎦
0
∞

= ∫ e − px f ( x) + e − px g ( x) dx
0
∞

∞

0

0

= ∫ e − px f ( x) dx + ∫ e − px g ( x) dx = L [ f ( x) ] ( p ) + L [ g ( x) ] ( p )
∞

∞

0

0

(ii) L[k ⋅ f ( x)]( p ) = ∫ e − px (k ⋅ f ( x) ) dx = k ∫ e − px f ( x) dx = kL[ f ( x)]( p ) .

3
f n ( x) = x nes:

Ejercicio 3: Demostrar que la transformada de Laplace para
n!

F ( p) =

, con n = 0, 1, 2, ...

p n +1

n

Solución: (Inducción sobre n)
Caso n = 0:
En este caso: f ( x) = 1 .

Aplicamos la definición a esta función para obtener:
⎛

∞
0

∫

1

− px

F ( p) = e

b
− px

dx = lim⎜ − e
b→∞ ⎜
p
⎝

0

⎞

1
⎜= .
⎜ p
0 ⎠

Por lo tanto, se cumple lafórmula.
Caso n = k:
Supondremos válido para n = k – 1, es decir, la hipótesis de inducción es:
Fk −1 ( p) =

( k −1) ! .
pk

∞

k − px
Fk ( p ) = ∫ x e dx .

Aplicamos la definición, y obtenemos:

0

Integramos por partes:

∞

⎛

⎞

b

k

x

∞

k

k
F ( p ) = x k e − px dx = lim ⎜ − e − px ⎜ +
x k −1e − px dx = F ( p ) .
k −1
k
∫
b→∞ ⎜
p
⎜ p∫
0
0
0 ⎠
⎝p

Usamos la hipótesis de inducción y queda:
F ( p) =
k

k

F

p

k −1

( p) =

k ( k −1)!
p

pk

k!
=

.

p k +1

Así queda demostrada la fórmula.

Nota: Hemos usado el hecho que lim e − pb = 0 . Sin embargo, esto sólo es válido si
b→∞

4
“Re(– p)” es negativo, o equivalentemente, si Re(p) >0.

5
f ( x) = e ax .

Ejercicio 4: Hallar la Transformada deLaplace para:
Solución:
Aplicamos la definición directamente, y queda:
∞

∞

F ( p ) = ∫ e ax ⋅ e − px dx = ∫ e( a − p ) x dx =
0

0

1
a− p

∞

e( a − p ) x

1

=

p−a

0

.

Notas:
1. En vez de escribir: lim (
b→∞

) 0 , hemos usado la notación: ( ) 0 . Esta notación se
∞

b

Utilizará de ahora en adelante.
2. Al evaluar la integral, estamos asumiendo que e( a− p ) ⋅∞ = 0 , lo cual solamente es
cierto si: Re(a − p) < 0 . Es decir, la transformada de Laplace tiene sentido si
Re(p) > a.

f ( x) = sin ax .

Ejercicio 6 Hallar la transformada de Laplace para:
Solución:
∞

Aplicamos la definición: F ( p ) = ∫ sin ax ⋅ e − px dx .
0

Integramos por partes, y llegamos a:
sin ax ⋅e − px
F ( p) = −
p

∞

+
0

a∞

a∞

p0

p0

− px∫ cos ax ⋅ e dx =

∫ cos ax ⋅ e

− px

dx .

Volvemos a integrar por partes, y obtenemos:
F ( p) =

a ⎡ cos ax ⋅e − px
−

∞

−

p

sin ax ⋅ e

∫

⎜
p

0

⎤

a∞

p0

− px

a ⎡1

a
⎤
− F ( p) .

dx =
⎜

⎜
p⎣p

p

⎜
⎦

6

Hemos llegado a una ecuación con variable F(p):
F ( p) =

a2
p2

a2
−

F ( p) .

p2

Despejamos F(p) yobtenemos la Transformada de Laplace para la función seno:
F ( p) =

a2
.
a2 + p2

Nota: Nuevamente hemos usado el hecho que lim e− pb = 0 , lo que implica Re(p) >0.
b→∞

Ejercicio 7: Hallar la Transformada de Laplace para:

f ( x) = cos ax .

Solución:
Usando la definición llegamos a la siguiente integral, muy similar a la del ejemplo
∞

Anterior
:

F ( p ) = ∫ cos ax ⋅ e − px...