Ejercicios Algebra Moderna

ALGEBRA MODERNA
Tarea N°1

Nombre: Daniela Gaete Pino
Fecha: 17 de abril del 2012

1. Sea G=x ∈ R:0≤x<1 Para x,y ∈G sea x⋆y la parte fraccional de x+y. Pruebe que ⋆, es una operación bien definida y que G,⋆ es un grupo Abeliano.

⋆ Lo definimos como la operación suma + en los R menos la parte entera.
Por lo que ⋆ toma las propiedades de + en los R.

Se prueba sila operación es bien definida para G, ⋆, si G, ⋆ es un grupo.

1. Elemento Neutro:
Sea x∈G
x⋆e=e⋆x=x , con ⋆ propiedades de suma tenemos que e=0 con e∈G

2. Elemento Inverso:
Sea x∈G
x⋆ x-1=x-1⋆x=e
Para ⋆ debe ocurrir que:
x⋆ x-1=x⋆ x-1-Parte Entera
⇒x⋆ x-1 =1 con 0≤x<1
⇒x⋆ x-1=x⋆ x-1-Parte Entera
= 1 - 1 = 0=e ∈G

3. Asociatividad:
Sea x, y, z∈G, entonces
x⋆y⋆z=x⋆y⋆z
x+y-z-Parte entera-Parte Entera=x+y-Parte Entera+z-Parte Entera

(+) Tiene propiedad distributiva en los Reales
∴ ⋆Está bien definida

4. Por demostrar que G,⋆ es Abeliano:
Sea x, y∈G, entonces para ser Grupo Abeliano debe ocurrir que:
x⋆y=y⋆x

x+y-u=y+x-uDefinición de ⋆ con u=parte entera-Inverso aditivo
x+y=y+x
Es conmutativa porque (+) en los R es Conmutativa

∴G,⋆ es un Grupo Abeliano

2. Determine si los siguientes conjuntos son grupos con la operación suma:
* El conjunto de los racionales de módulo menor que 1
G=x∈Q: -1<x<1
G,+
a) Elemento Neutro:
x+e=e+x=x ⇒ e=0 en la suma y e∈G
∴∃ Elemento Neutro

b)Elemento Inverso:
Sea x∈G, entonces
x+x-1=x-1+x=0
como -1<x<1, entonces cada elemento tiene su inverso aditivo.
∴∃ Elemento Inverso

c) Asociatividad:
Sea x,y,z∈G, entonces
x+y+z=x+y+z
La asociatividad es una propiedad en la adición de los R
∴∃ Asociatividad

Luego G,+ es un grupo

* El conjunto de los racionales de módulo mayor igual que 1 además de cero.

G=x∈ Q:con x:∞-,1∪01,∞+
G,+
a) Elemento Neutro
x+e=e+x=x ⇒ e=0 en la suma y e∈G
∴∃ Elemento Neutro

b) Elemento Inverso:
x+x-1=x-1+x=e
entonces cada elemento de G tiene su inverso aditivo en G
∴∃ Elemento Inverso
c) Asociatividad
propiedad asociatividad de la adición de los R
∴∃ Asociatividad

Luego G,+ es un grupo

* El conjunto de los racionales condenominador 1,2,ó 3

G=x∈Q:x1,x2,x3
G,+
a) Elemento Neutro
x+e=e+x=x ⇒ e=0=01∈G

Todo número entero tiene denominador 1
∴∃ Elemento Neutro

b) Elemento Inverso:
x+x-1=x-1+x=e
Todo elemento de G tiene su inverso aditivo en G, debido a que sus inversos aditivos deben tener un denominador 1, 2 ó 3
∴∃ Elemento Inverso
c) Asociatividad
Propiedad asociativa de la adiciónde los R y Q∈R
∴∃ Asociatividad

Luego G,+ es un grupo

* El conjunto de los racionales con denominador 1 ó 2

G=x∈Q:x1,x2
G,+
a) Elemento Neutro
x+e=e+x=x ⇒ e=0=01∈G

Todo número entero tiene denominador 1
∴∃ Elemento Neutro

b) Elemento Inverso:
x+x-1=x-1+x=e
Todo elemento de G tiene su inverso aditivo que también pertenece a G porque tiene undenominador 1, 2 ó 3

∴∃ Elemento Inverso
c) Asociatividad
propiedad asociativa de la adición de los R y Q∈R
∴∃ Asociatividad

Luego G,+ es un grupo.

3. Considere el conjunto G= a+b2∈R.a,b∈Q

* Pruebe que G es un grupo con la suma

a) Elemento Neutro
a+b2+e=e+a+b2=a+b2 ⇒ e=0=0+02∈G
∴∃ Elemento Neutro

b) Elemento Inverso:
a+b2+x=x+a+b2=e⇒x=-a-b2∈G a=b=0
∴∃ Elemento Inverso
c) Asociatividad
propiedad asociativa de la adición
∴∃ Asociatividad

Luego G,+ es un grupo.

* Pruebe que G/0 es un grupo con la multiplicación

a) Elemento Neutro
a × b2×e=e×a×b2=a×b2 ⇒ e=1∉G
Para que sea una se debe tomar 2 en b ó en a pero 2 ∈G...