ejercicios analisis2

TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS DE UN SISTEMA A OTRO.
DADO UN PUNTO O CAMPO ESCALAR EN CUALQUIER SISTEMA COORDENADO, TRANSFORMARLO A LOS OTROS DOS SISTEMAS COORDENADOS.
COORDENADAS CILÍNDRICAS YESFÉRICAS.

Coordenadas cilíndricas.

Ya hemos tenido ocasión de comprobar que ciertas graficas bidimensionales son mas fáciles de representar en coordenadas polares que en coordenadasrectangulares. Lo mismo ocurre con las superficies. En esta sección introducimos dos sistemas alternativos de coordenadas para el espacio. El primero, el sistema de coordenadas cilíndricas, es una generalizaciónde las coordenadas polares en el espacio.

EL SISTEMA DE COORDENADAS CILÍNDRICAS.

En un sistema de coordenadas cilíndricas, un punto p del espacio se representa por un trío ordenado (r, ө,z).

1.- (r, ө) son las coordenadas polares de la proyección de p sobre el plano x y.
2.- z es la distancia dirigida de p a (r, ө).


Para pasar de rectangulares a cilíndricas, o viceversa,hay que usar las siguientes formulas de conversión.

Cilíndricas a rectangulares.

X = r cos ө, y = r sen ө, z = z

Rectangulares a cilindricas:

R2 =x2 + y2, tg ө =y/x, z= z.

El punto (0, 0,0) se llama el polo. Además, como la representación de un punto en polares no es única, tampoco lo es en cilíndricas.

Ejemplo 1:

Expresar en coordenadasrectangulares el punto (r, ө, z) = (4,5π/6,3).

Solución:
Con las formulas de conversión de cilíndricas a rectangulares obtenemos.

X = 4 cos 5 π / 6 = 4 (-√3 / 2) = -2 (√3).

Y = 4 sen 5 π/ 6 =4 (1/2) = 2

Z = 3

Así pues, en coordenadas rectangulares ese punto es (x, y, z) = (-2)( √ 3, 2, 2).
Ejemplo 2:

Hallar ecuaciones en coordenadas cilíndricas para las superficiescuyas ecuaciones rectangulares se especifican a continuación:

a) x2 + y2 =4z2
b) y2 = x

Solución a)
Por la sección procedente sabemos que la grafica de x2 +y2 =4z2 es un cono con...