Ejercicios Apostol 2

MODELOS NO LINEALES
ECUACION LOGISTICA

CARLOS CAPACHERO T00017491
VIANA ESCOBAR T00019891
JOSE PERNETT
SHELLEY TURIZO T00022266

PRESENTADO A
LIC. EDGARDO ALVAREZ

ECUACIONES DIFERENCIALES
FACULTAD DE INGENIERIA
CARTAGENA DE INDIAS DT Y C
2012

Antes de hablar de ecuación logística empezaremos dando un repaso sobre la dinámica poblacional, pues la formula de la ecuaciónlogística se desglosa de la formula de dinámica poblacional.

DINAMICA POBLACIONAL
Si P(t) denota el tamaño de la población en el tiempo t, el modelo para calcular el crecimiento exponencial comienza con el supuesto de que dP/dt=kP, donde k es constante y k=(dP/dt)/P, k es llamada la tasa de crecimiento relativa.
Pero este modelo de ecuación en la vida diaria es muy difícil de encontrar pues ningunapoblación de individuos crece de manera exponencial durante un largo periodo de tiempo por la limitación de los recursos del entorno. Por lo tanto se puede esperar que k disminuya a medida que P aumente en tamaño.
Lo anterior se puede expresar como: (1)
dPdtP=fP o dPdt=Pf(P)

Ahora si estamos un poco mas preparados para dar la definición del modelo de ecuación logística.

ECUACIONLOGISTICA
Si suponemos que un entorno es capaz de dar sustento solamente a un numero K () de individuos en la población. Para la función f dada anteriormente, tenemos que
fK=0, pues dKdtK=fK, y la derivada de una constante es O
f0=r, pues la integral de 0 es una constante, y a esta la llamaremos r
Lo anterior lo podemos expresar mediante la siguiente grafica:
f(P)
P
r

K

La figuramuestra 3 posibles funciones que satisfacen las dos condiciones de f mencionadas anteriormente. Ahora, la suposición mas simple que podemos hacer es que f sea lineal, si es así entonces haciendo la relación entre la ecuación de una línea recta (y(x)=mx+b), tenemos que f(P)=c1P+c2. Usando las condiciones f(0)=r y f(K)=0, c2=r, c1=-r/K, y entonces f(P) asume la forma
fP=r-rKP
Y la ecuación (1)queda
dPdt=Pr-rKP

Para simplificar, le damos valores a las constantes r=a, y r/K=b
dPdt=Pa-bP (2)

SOLUCION DE LA ECUACION LOGISTICA
Para solucionar (2), es apropiado hacer separación de variables, posteriormente integrar:
dPPa-bP=dt
Haciendo fracciones parciales, A=1/a, B=b/a
1aP+baa-bP dP =dt
Solucionando, se tiene:
1alnP-1alna-bP=t+c
1alnPa-bP=t+c
Cuando t=0, P=Po1alnPoa-bPo=c
Luego
1alnPa-bP=t+ 1alnPoa-bPo
Multiplicando por a en ambos lados de la ecuación:
lnPa-bP=at+ lnPoa-bPo
Multiplicando por euler:
Pa-bP=Poa-bPo eat
Despejando y simplificando tenemos
Pt=aPobPo+a-bPoe-at

La cual es la solución de la ecuación logística.

EJEMPLOS
1.
Suponga que un estudiante portador de un virus regresa a una comunidad universitaria aislada cuya poblaciónes de 1000 individuos. Si se asume que la tasa a la cual el virus se propaga es proporcional no solo al numero x de estudiantes infectados, determine el numero de estudiantes infectados después de 6 días si se observa que después de pasados 4 días x(4)=50.
Este problema es de valores iníciales, así que podemos plantear el modelo matemático de la siguiente manera
dxdt=Kx1000-x, x0=1Sustituimos a=1000k y b=k en la ecuacion demostrada anteriomente, y obtenemos
pt=aP0bP0+a-bP0eat = xt=1000kk+999ke-1000kt
Utilizamos la condición x(4)=50 para calcular k
50=10001+999e-4000k
-1000k=14ln19999=-0.9906
Al sustituir nuestra nueva ecuación seria
= xt=10001+999ke-0.9906t
Para hallar la respuesta en x(6) sustituimos y despejamos los datosx6=10001+999ke-0.9906(6)= 10001+999ke-0.9906t=276alumnos

2.
Supóngase que en 1885 la población en cierto país era de 50 millones de habitantes y fue creciendo a una tasa de 750000personas por años desde entonces. Considérese también que en 1940 la población era de 100millones y fue creciendo desde entonces a una tasa de 1 millón de personas por año. Ahora asúmase que esta población satisface la ecuación...