Ejercicios bernulli

ECUACIONES DIFERENCIALES ´ ECUACION DE BERNOULLI E0100 Ejemplos.- Resolver las ecuaciones diferenciales siguientes dy = 2xy(y 3 − 1) (1) 3(1 + x2 ) dx dy y x (2) 2 = − 2 ; y(1) = 1 dx x y 1 dy 3 + y 2 = 1; y(0) = 4 (3) y 2 dx (4) e−x (y − y) = y 2 (5) y 2 dx + (xy − x3 ) dy = 0

canek.uam.mx: 21/ 4/ 2003.
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´ ECUACION DE BERNOULLI E0100

Respuestas
Ejemplos.- Resolver lasecuaciones diferenciales siguientes dy (1) 3(1 + x2 ) = 2xy(y 3 − 1) dx 3(1 + x2 )y = 2xy 4 − 2xy 3(1 + x2 )y + 2xy = 2xy 4 Dividiendo por 3(1 + x2 )

y +

2x 2x y= y 4 , que es de Bernoulli. 2) 3(1 + x 3(1 + x2 )

Multiplicando por y −4 se obtiene

(A)

y −4 y +

2x 2x y −3 = 2) 3(1 + x 3(1 + x2 )

Se efect´a un cambio de variable u

z = y −3 ⇒ Sustituyendo en (A)

1 dz dy = −3y −4 ⇒ − z= y −4 y dx dx 3

1 2x 2x − z + z= 2) 3 3(1 + x 3(1 + x2 ) Multiplicando por (−3)

z −

2x 2x z=− , que es lineal 2 1+x 1 + x2 2x dx = − ln(1 + x2 ) = ln(1 + x2 )−1 p(x) dx = − 2 1+x

El factor integrante es

eln(1+x

2 )−1

= (1 + x2 )−1 =

1 1 + x2

´ ECUACION DE BERNOULLI E0100

3

Multiplicando la lineal por el factor integrante

1 2x 2x z = z − 2 2 1+x 1+x (1 + x2 )22x 1 z =− , integrando 2 1+x (1 + x2 )2 1 z = − (1 + x2 )−2 2x dx 1 + x2 1 (1 + x2 )−1 + c, c constante z=− 1 + x2 −1 1 z = (1 + x2 ) + c = 1 + c(1 + x2 ) 1 + x2 pero z = y −3 = 1 , entonces y3 1 = 1 + c(1 + x2 ), de donde y3 1 , por lo tanto y3 = 1 + c(1 + x2 ) 1 y= 3 1 + c(1 + x2 ) (2) 2 dy y x = − 2 ; y(1) = 1 dx x y 1 2y − y = −xy −2 x Dividiendo por 2 x 1 y = y −2 , que es de Bernoulli. 2x 2y −

Multiplicando por y 2 se obtiene 1 3 x y =− 2x 2 Se efect´a un cambio de variable u y2y − 1 dy dw = 3y 2 ⇒ w = y 2y dx dx 3

(B)

w = y3 ⇒

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´ ECUACION DE BERNOULLI E0100

Sustituyendo en (B)

1 1 x w − w=− 3 2x 2 Multiplicando por 3

w −

3 3 w = − x, que es lineal 2x 2 3 3 3 dx 3 p(x) dx = − dx = − = − ln x = ln x− 2 2x 2 x 2

El factor integrante es

e

3 −ln x 2

= x− 2

3

Multiplicando la lineal por el factor integrante

x− 2 w −

3

3 3 3 w = − x x− 2 2x 2 3 3 1 [x− 2 w] = − x− 2 2

Integrando

x− 2 w = −

3

3 2

1 1 3 x− 2 dx = − (2)x 2 + c, c constante 2 1 3

w = x 2 [−3x 2 + c] = −3x2 + cx 2 Pero w = y 3

3

(3) y 2

dy 3 + y 2 = 1; y(0) = 4 dx 1 Multiplicando por y − 2
1

y + y = y − 2 , que es de BernoulliMultiplicando por y 2
1

1

´ ECUACION DE BERNOULLI E0100

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(C) Efectuando un cambio de variable si z = y 2 ⇒ Sustituyendo en (C)
3

y2y + y2 = 1

1

3

1 3 1 dy 2 dz = y2 = z = y2y dx 2 dx 3

2 z +z =1 3 Multiplicando por 3 2 3 3 z + z = , que es 2 2 3 p(x) dx = dx = 2 El factor integrante es e 2 x 3 Multiplicando la lineal por e 2 x
3 3 3 3 e2x z + z = e2x 2 2 3 3 3 [e 2 xz] = e 2 x 2
3

lineal 3 x 2

Integrando

e 2 xz = z = e− 2 x [e 2 x + c] = 1 + ce− 2 x Pero z = y 2 , entonces
3 3 3 3

3

3 3 3 e 2 x dx = e 2 x + c, c constante 2

y 2 = 1 + ce− 2 x Considerando y(0) = 4

3

3

4 2 = 1 + c, de donde c = 7

3

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´ ECUACION DE BERNOULLI E0100

Por lo tanto

y 2 = 1 + 7e− 2 x De donde

3

3

y = (1 + 7e− 2 x ) 3 (4) e−x (y −y) = y 2 Multiplicando por ex y − y = ex y 2 , que es de Bernoulli Multiplicando por y −2 (D) y −2 y − y −1 = ex w = y −1 ⇒ Sustituyendo en (D) se obtiene dw dy = −y −2 ⇒ −w = y −2 y dx dx

3

2

−w − w = ex O sea

w + w = −ex , que es lineal El factor integrante es e
dx

= ex

Multiplicando la lineal por ex

ex [w + w] = −ex ex [ex w] = −e2x Integrando

ex w = −

1 e2x dx = −e2x + c1 2

´ ECUACION DE BERNOULLI E0100

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De donde

1 1 w = e−x [−e2x + 2c1 ] = [−ex + ce−x ] 2 2 1 Pero w = y −1 = , entonces y

1 1 = [ce−x − ex ] y 2 Por lo tanto

y=

ce−x

2 − ex

(5) y 2 dx + (xy − x3 ) dy = 0 y2 dx + xy − x3 = 0 dy y 2 x + yx = x3

Dividiendo por y 2

1 1 x + x = 2 x3 , de Bernoulli para x y y Multiplicando por x−3 se obtiene

(E)

1 1 x−3 x...