Ejercicios Cadenas de Markov



ANALISIS (CADENAS) DE MARKOV


Según la Teoría de Markov, el estado actual de un sistema depende directamente del estado inmediato anterior del mismo, lo que puede representarse de la siguiente manera:


donde:
Es el estado anterior o inicial, representado por un vector renglón.
Es el factor de cambio llamado matriz de transición. Es una matriz cuadrada, del mismo orden que losvectores de
estado. La suma de todos los elementos en cada renglón debe de ser igual a uno. Es realmente una matriz que
muestra las probabilidades que tiene el sistema de adoptar diversos estados.
Es el estado posterior o final, representado por un vector renglón.

Un proceso de Markov de primer orden, es aquel en que el factor de cambio (matriz de transición) permanececonstante a lo largo de todo un análisis.
Cuando el proceso se repite un gran numero de veces:



El estado del sistema tiende a volverse constante, lo que se conoce como estado estacionario del sistema. Para conocer los valores para ese estado, se hace el siguiente planteamiento:



Al sistema de ecuaciones que se genera a partir de dicho planteamiento, se debe agregar una ecuación queestablezca la condición de que la suma de todos los elementos en cada renglón debe de ser igual a uno.



1

Una gripe ha brotado en un dormitorio de una universidad que tiene 200 estudiantes. Suponga que la probabilidad de que un estudiante con gripe todavía la tenga después de cuatro días es de 0.1; sin embargo, para un estudiante que no tiene gripe, la probabilidad de que tenga gripecuatro días después es de 0.2.
a) Escriba la matriz de transición.
b) Si120 estudiantes tienen gripe hoy, ¿Cuántos (redondeado al entero más cercano) puede esperarse tengan gripe dentro de 8 días?
c) ¿Dentro de 12 días?


2

Un centro de salud física ha encontrado que de quienes realizan ejercicios de alto impacto en una visita, el 60% hará lo mismo en la visita siguiente y el 40% haráejercicios de bajo impacto. De quienes realizan ejercicios de bajo impacto en una visita, el 70% hará lo mismo en la siguiente visita y el 30% hará ejercicios de alto impacto en su siguiente visita. En la ultima visita, suponga que el 60% de los miembros realizaron ejercicios de alto impacto y el 40% hicieron de bajo impacto.
Después de dos visitas más, ¿Qué porcentaje realizara ejercicios de altoimpacto?


3

En una cierta ciudad, cada año el 5% de los residentes del área urbana se traslada a los suburbios; y el 2% de los que habitan los suburbios se trasladan al área urbana. Suponiendo que el número total de habitantes de la ciudad permanezca constante, determine las proporciones de residentes en cada area a largo plazo.




4

En cierta área dos periódicos están disponibles.Se ha encontrado que si un individuo compra un día el periódico “A”, entonces la probabilidad de que cambie al otro periódico al día siguiente es del 10%. Si un individuo compra el periódico “B” un día, entonces la probabilidad es del 70% que compre el mismo periódico al día siguiente. ¿Qué probabilidad hay de que una persona que compra el periódico “A” el lunes lo compre el martes?



5Una tienda de renta de videos tiene tres locales en la ciudad. Un video puede ser rentado en cualquiera de los tres locales y regresado en cualquiera de ellos. Hay estudios que muestran que los videos son rentados en un local y devueltos de acuerdo con las probabilidades dadas por:



Rentado en
Devuelto a


1
2
3

1
70%
10%
20%

2
20%
80%
0

3
20%
20%
60%


Suponga queel 20% de los videos son rentados inicialmente en el local 1, el 50% en el local 2 y el 30% en el local 3. Encuentre los porcentajes de videos que puede esperarse sean devueltos en cada local, después de:
a) una renta.
b) dos rentas.


6

Un país tiene un sistema político en el que solo participan tres partidos, y los resultados de las elecciones siguen un modelo definido: si un partido...