Ejercicios Calculo Diferencial

Universidad T´cnica Federico Santa Mar´
e
ıa
Departamento de Matem´tica
a

MAT 013
1er Semestre de 2012
Pauta Control 3
• Problema 1: Considere la funci´n
o
 xy

 x2 + y
f (x, y ) =

0

−x2 = y
−x2 = y

Determine:
∂f
∂f
(a)
(0, 0) y
(0, 0)
∂x
∂y
∂f
∂f
(x0 , y0 ) y
(x0 , y0), siendo (x0 , y0 ) puntos sobre la curva y = −x2
(b)
∂x
∂y
Soluci´n:
o
h·0
−0∂f
f (h, 0) − f (0, 0)
0
h2 +0
(a)
(0, 0) = lim
= lim
= lim = 0
h→ 0
h→ 0
h→ 0 h
∂x
h
h

f (h, 0) − f (0, 0)
∂f
(0, 0) = lim
= lim
h→ 0
h→ 0
∂y
h

0·h
02 +h

h

−0

0=0
h→ 0 h

= lim

(b) Note que el punto (x0 , y0 ) es de la forma (x0 , −x2 ) pues (x0 , y0 ) pertenece a la curva
0
y = −x2 .

∂f
f (x0 + h, −x2 ) − f (x0 , −x2 )
x3 + x2 h
0
0
0
0
2(x0 , −x0 ) = lim
= lim −
h→ 0
h→ 0
∂x
h
(2x0 h + h2 )h

∂f
f (x0 , −x2 + h) − f (x0 , −x2 )
hx0 − x3
0
0
0
(x0 , −x2 ) = lim
= lim
0
h→ 0
h→ 0
∂y
h
h2

Ninguno de estos dos l´ımites existe. Por lo tanto no existen las derivadas parciales en los
puntos de la forma (x0 , −x2 )
0

mat 013

1

Universidad T´cnica Federico Santa Mar´
e
ıa
Departamento deMatem´tica
a

• Problema 2: Sea a > 0 y considere el plano tangente a la superficie xyz = a en un punto
del primer octante. Muestre que el volumen del tetraedro formado por ese plano y los planoscoordenados es independiente del punto de tangencia.
Soluci´n:
o
Sea F (x, y, z ) = xyz − a. Entonces, el plano tangente en un punto (x0 , y0 , z0 ) de la superficie
est´ dado por
a
∇F (x0 , y0 , z0 ) · (x− x0 , y − y0 , z − z0 ) = 0
es decir
y0 z0 x + x0 z0 y + x0 y0 z − 3x0 y0 z0 = 0
Como (x0 , y0, z0 ) pertenece a la superficie, se tiene x0 y0 z0 = a, por lo tanto, el plano tangente
queda
y0 z0x + x0 z0 y + x0 y0 z = 3a
Los puntos en los que este plano corta a los ejes coordenados x, y y z son, respectivamente
3a
,
y0 z0

3a
,
x0 z0

3a
x0 y0

As´ el volumen buscado es
ı,...