Ejercicios calculo vectorial

EJERCICIOS CAPÍTULO 2

1. Halle las derivadas parciales de la función dada en cada uno de los siguientes ejercicios: a. b. c.

f ( x, y ) = x x + y y + x y y x
f ( x, y, z ) = ysen( xz )(cos x − 1) + y cos( xz ) senx
1   ln  2 2 2  x +y +z 
x

d. h( x, y ) = x y en el punto (− 1,0) .

2. Calcule el valor máximo de la derivada direccional de la función f ( x, y ) = 3 x 2 − y 2 +xy − x 3. Dada la función f analice si es clase C1 en (0, 0)

 x2 y3 − x3 y  2 2 a. f ( x, y ) =  x + y  0 
b.

( x, y ) ≠ (0, 0) ( x, y ) = (0, 0)
( x, y ) ≠ (0, 0) ( x, y ) = (0, 0)

 xy 2  f ( x, y ) =  x 2 + y 2  0 

4. En cada uno de los ejercicios siguientes compruebe que la derivada direccional de la función f dada, en el punto indicado, en la dirección de la tangente ala curva de nivel que pasa por el punto es igual a cero: a. f ( x, y ) = 5 x 2 + 6 y 2 X 0 = (−1, 0) b. f ( x, y ) = e x e y X 0 = (0, 0) 5. Calcule la derivada direccional de F : ℝ 2 → ℝ 3 , F ( x, y ) = ( x 2 y 3 , Ln( x + y ), xy ) en la dirección del vector ( 3, 4 ) en el punto (1,1) .
2 2 6. Demuestre que la derivada direccional de la función f ( x, y ) = x + y en los puntos de la x 2 2circunferencia x + y − 2 y = 0 en la dirección de la normal a esta circunferencia, es igual a

cero. 7. Un insecto con instinto suicida se mete en un ambiente tóxico en el cual el nivel de toxicidad está dado por el campo escalar en coordenadas esféricas T (r , φ, θ) = r 2 sin φ . Si en un

momento dado el insecto está en (1, π 4 , π 4 ) , ¿en qué dirección deberá volar para tener una muertelo más rápida posible? 8. Sea f : ℝ 2 → ℝ una función diferenciable definida en el conjunto abierto U de ℝ 2 y sea ∂f ∂f X 0 ∈ U . Suponga que ( X 0 ) = a, ( X 0 ) = b donde los vectores unitarios ∂u ∂v u = ( x1 , y1 ) y v = ( x2 , y2 ) son linealmente independientes. Demuestre que las derivadas parciales de f en X 0 son:
∂f ay2 − by1 (X0 ) = , ∂x x1 y2 − x2 y1 ∂f bx1 − ax2 (X0 ) = ∂y x1 y2 − x2y1

9. Considérense las funciones f ( x, y ) = 3 x 2 + 2 y 2 , g ( x, y ) = 7 Lnx + 3 y ; demuestre que la

derivada de la función f en el punto p = (1,1) en la dirección del gradiente de la función g en

p es igual a la derivada de la función g en p en la dirección del gradiente de la función f en p . ¿Ocurre lo mismo con las funciones f ( x, y ) = x 2 + y 2 y g ( x, y) = 2 x + y en elpunto
p ( 2,1) ?
10. Halle ∇f (0, 0) para cada una de las siguientes funciones: a.
 x 1 − e x−2 y 2 y  + f ( x, y ) =  2 ( x − 2 y )  0  x ≠ 2 y. x = 2 y.

 2 xy ( x, y ) ≠ (0, 0)  b. f ( x, y ) =  x 2 + y 4  0 ( x, y ) = (0, 0)   x y ( x, y ) ≠ (0, 0)  c. f ( x, y ) =  x 2 + y 2  0 ( x, y ) = (0, 0)  11. Para cada una de las siguientes funciones halle la matriz jacobiana o elvector gradiente según el caso, y el dominio de diferenciabilidad (conjunto de puntos donde la función es diferenciable)
a.

f ( x, y ) =

cos( x) + e xy x2 + y2

 xy 4 si ( x, y ) ≠ (0, 0)  b. f ( x, y ) =  x 4 + y 4 0 si ( x, y ) = (0, 0) 
c. F ( x, y , z ) = ( y − x 2 + z 2 , x 2 + z 2 ) d. F ( x, y, z ) = ( x 2 + y 2 + z 2 , x 2 + y 2 , z )

12. Si F : ℝ n → ℝ m es una funciónvectorial, se dice que F es diferenciable en X 0 si R( H ) lim =0 siendo R( H ) el residuo, el cual está dado por H →0 H
R ( H ) = F ( X 0 + H ) − F ( X 0 ) − JF ( X 0 ) H . Hallar R ( H ) para las siguientes funciones y analice si son diferenciables:

a.

f ( x, y, z ) = xy 2 z 3 en X 0 = (2,1,1)
x+ y + z

b. f ( x, y , z ) = e

en X 0 = (0, 0, 0)

13. Usando el criterio del ejercicio8. demuestre que f es diferenciable pero no es clase C (1) (sus derivadas parciales no existen o no son continuas)    1 ( x 2 + y 2 ) sen   si ( x, y ) ≠ (0, 0)   x2 + y2  f ( x, y ) =     si ( x, y ) = (0, 0)  0 14. Considere la función f : ℝ 2 → ℝ , tal que:
 xy 2 − 2 y 2 ( x, y ) ≠ (2, 0)  2 f ( x, y ) =  x − 4 x + y 4 + 4  0 ( x, y ) = (2, 0) 

a. Demuestre, usando...