Ejercicios Calculo I

Ejercicios de Parciales.
Calcule el dominio de la función natural que se le da:
fx=log310x-x23-1+1π-4arcsen(x-14)Recuerda lo que siempre hacemos, vamos a separar la función f(x) en dos funciones, g(x) y h(x):
fx=log310x-x23-1+1π-4arcsen(x-14)
gx h(x)Así tenemos entonces que:
Domf=Domg∩DomhCalculemos en Dominio de g(x):
gx=log310x-x23-1Como la funciónmas externa que tengo es una raíz par (raíz cuadrada), el argumento de ella debe ser mayor o igual a cero, por tanto:
log310x-x23-1≥0Ahora tenemos que conseguir los valores de x que cumplen esta inecuación:
log310x-x23≥1Aplicando a ambos lados de la inecuación la inversa de la función log3 que es la función exponente de base 3:
3log310x-x23≥3110x-x23≥310x-x2≥910x-x2-9≥0Multiplicando toda lainecuación por -1, recuerda que la desigualdad cambia.
x2-10x+9≤0Usando la ecuación cuadrática para factorizar la ecuación tenemos:
x=10±102-41(9)2(1)=10±82x1=9 Y x2=1Por lo tanto:
x-9(x-1)≤0Ubiquemos los puntos en la recta real y evaluemos para conocer el signo:
1 9
Finalmente:
domg=[1,9]Recuerda que estoy en el denominador
Calculemos eldominio de h(x):
hx=π-4arcsen(x-14)Primero: como la función h(x) se encuentra en un denominador, debemos buscar el o los valores de x para los cuales la función se anula y asegurarnos de excluirlo del dominio. Es decir, busquemos los valores para los cuales se cumple que:
π-4arcsenx-14=04arcsenx-14=πarcsenx-14=π4senarcsenx-14=senπ4 x-14=22Recuerda excluir este valor del dominiox-1=22 x=1+22Segundo: mi función h(x) va a existir siempre y cuando el argumento del arco seno se encuentre acotado entre -1 y 1, es decir:
-1≤x-14≤1-4≤x-1≤4Sumando 1 en cada término:
-3≤x≤5Finalmente el dominio de h(x) será [-3,5] excluyendo x=1+22domh=-3,5-1+22Como se dijoEscriba aquí la ecuación. al iniciar el ejercicio, eldominio de la función f(x) será la intersección de los dominios de g(x) y h(x):
Domf=Domg∩Domhdomf=1,9∩-3,5-1+22=1,5-1+22domf=1,5-1+22fx=Ln1+1-x2x-arccos2-xx2+1Separamos la función f(x) en dos funciones:
fx=Ln1+1-x2x-arccos2-xx2+1
g(x) h(x)Calculemos el dominio de g(x):
gx=Ln1+1-x2xLa función más externa que se tiene es un logaritmo neperiano, por lo que elargumento debe ser mayor estricto que cero, es decir:
1+1-x2x>0IMPORTANTE:
Para que la desigualdad que se encuentra arriba se cumpla debemos partir de el hecho que los valores que me arroja la raíz cuadrada siempre son positivos, por lo que el numerador de esa inecuación siempre será positivo y la única raíz que ubicaré en la recta real será el cero por ser quien anula el denominador:

0Así que el dominio de g(x) debe estar comprendido en los reales positivos, es decir, 0,+∞.
Pero también debemos garantizar que la raíz cuadrada que tenemos en esa inecuación exista, para ello el argumento de esa raíz debe ser mayor o igual a cero:
1-x2≥0-x2≥-1x2≤1x≤1-1≤x≤1Así que el dominio de g(x) también debe estar comprendido en el intervalo [-1,1].
FINALMENTE, el dominio de g(x) será laintersección de 0,+∞ y -1,1. Es decir,
domg=0,+∞∩-1,1=0,1domg=(0,1]Calculemos el dominio de h(x):
hx=arccos2-xx2+1Como la función mas externa es la función arco coseno su argumento debe estar comprendido entre -1 y 1.
-1≤2-xx2+1≤1En esta inecuación vamos a tener dos soluciones (A y B), la solución será la intersección de estas dos soluciones
Solución A
-1≤2-xx2+1≤1Solución B
Entonces el dominio de h(x) será:
domh=Solución A ∩Solución BAsí que vamos a buscar la solución de A y B.
Solución A:
2-xx2+1≤12-xx2+1-1≤02-x-x2-1x2+1≤0-x2-x+1x2+1≤0x2+x-1x2+1≥0El denominador de la desigualdad no tiene raíces reales, por lo tanto siempre será positivo.
Factorizando el numerador:...