Ejercicios Calculo

Boletines 8-11. Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería. Electricidad, Electrónica y Mecánica.

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Boletín 9. Funciones de varias variables.
1. En cada apartado, calcular el límite y discutir la continuidad de la función de la que se calcula
el límite
x
x+y
p
(a)
lm
x + 3y 2
(c)
lm
(b)
lm
y
x+y
(x;y)!(2;1)
(x;y)!(1;1)
(x;y)!(2;4) x
arcsen
(d)

lm

(x;y)!(0;1)

x
y

(e)

1 + xy

lm

(x;y)!( 4;2)

y sen xy

(f)

lm

(x;y)!(0;0)

exy

2. Calcular las derivadas parciales primeras y segundas de las siguientes funciones:
x

(a) z = tg(2x y)
xy
(d) w =
x+y+z

(b) z = xe y
(e)w = p

1

(c) z = x ln(xy)
1
(f) w = ln(xyz 2 )
2
x
y2 z2

1 1
+ + xy; calcular todos los valores de x e y para los que se veri…ca
x y
que fx (x; y) = 0 y fy (x; y) = 0 simultáneamente.

3. Dada la función f (x; y) =

4.a) Comprobar que la función z = ex sen y satisface la ecuación de Laplace
b) Comprobar que la función z = e
ecuación del calor

@z
@t

c2

@2z
= 0:
@x2

t sen

@2z
@2z
+
= 0:
@x2 @y 2

x
, donde c es una constante no nula, satisface la
c

v2
5. La aceleración centrípeta de una partícula que se mueve por un círculo es a = , donde v es la
r
velocidad y r es el radio del círculo. Estimar el máximoerror porcentual en la aceleración si las
cotas de error en v y r son del 2 por 100 y del 1 por 100; respectivamente.
6. Un leñador puede cometer un error del 5 % al medir el diámetro y un 3 % al medir la altura
de un tronco cilíndrico, recto y circular. Estimar el máximo error porcentual en el volumen del
tronco.
dz
, siendo z = x sen y y x = e t e y =
t:
dt
dw
b) Usando la regla de la cadena,hallar
, siendo w = xy cos z, x = t; y = t2 y z = arcsen t:
dt
d2 w
c) Usando la regla de la cadena, hallar
, siendo w = arccotan(2xy); x = cos t; y = sen t:
dt2
2
d w
Calcular, además,
cuando t = 0:
dt2

7. a) Usando la regla de la cadena, hallar

8. Hallar

@z @z
y
usando la regla de la cadena, siendo z = x2
@t
@s

y 2 y x = s cos t e y = t sen s:

9. a) Calcular las derivadas parciales de z porderivación implícita en los siguientes apartados:
(a.1) x ln y + y 2 z + z 2 = 8:

(a.2) z = ex sen(y + z):

b) Calcular las derivadas parciales de w por derivación implícita en los siguientes apartados:
p
p
(b.1) xyz + xzw yzw + w2 = 5:
(b.2) w
x y
y w + z = 0:

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10. Determinar la derivada direccionalde la función f en el punto dado y en la dirección indicada:
(a) f (x; y) = xy;

P (1; 1);

(b) f (x; y; z) = ln(1 +

xyz 2 );

u = i + j:
P (2; 1; 0);

u=

i + j + k:

11. a) Hallar la derivada direccional de f (x; y) = cos(x + y) en el punto P (0; ) en la dirección de
Q( ; 0):
2
b) Hallar la derivada direccional de f (x; y; z) = ln(x + y + z) en el punto P (1; 0; 0) en la dirección
de Q(4; 3;1):
12. La temperatura en los puntos (x; y; z) de una pieza metálica está dada por T (x; y; z) = e2x+y+3z :
¿En qué dirección desde el origen se incrementa más rapidamente la temperatura?
13. a) Calcular el gradiente de g(x; y) = ye
punto P (0; 5):

x2

y el valor máximo de la derivada direccional en el

b) Calcular el gradiente de g(x; y; z) = xeyz y el valor máximo de la derivada direccional enel
punto P (2; 0; 4):
14. Hallar un vector normal y la recta tangente a la curva de nivel de f (x; y) = xy que pasa por el
punto P ( 1; 3):
15. a) Calcular la ecuación del plano tangente y la ecuación de la recta normal a la super…cie de
ecuación z = x3 3xy + y 3 en el punto P (1; 2; 3):
b) Calcular la ecuación del plano tangente y la ecuación de la recta normal a la super…cie de
ecuación xy 2 + 3xz 2 = 4 en el punto P (2; 1; 2):
16. Encontrar y clasi…car los puntos críticos de las siguientes funciones:
a) f (x; y) = x2 + y 2 + 2x

6y + 6:

b) f (x; y) = 2x2 + 2xy + y 2 + 2x

3:

c) z = xy:
d) z =

x2

4x
:
+ y2 + 1

17. a) Calcular los extremos absolutos de f (x; y) = 2x
las grá…cas de las funciones y = x2 e y = 1:

2xy + y 2 en la región del plano acotada por

b) Calcular los extremos...