Ejercicios continuaidad limites

ESCUELA POLITECNICA NACIONAL
CALCULO EN UNA VARIABLE
* 15. fx=5-6x si x≤3-4-x2 si x>3 X = 3
A)

B) a) f3=5-63=-13
b)limx→3-fx=limx→3-5-6x =5-6(3)=-13
limx→3+fx=limx→3+-4-x2 =-4-(3)2=-13
∴limx→3-fx=limx→3+fx=-13 EXISTE
c) f3=limx→3fx=-13 ∴f, es continua en x=3
C) a) f_3=limx→3-fx-f3x-3=limx→3-5-6x+13x-3=limx→0--6(x-3)(x-3)=-6
b)f+3=limx→3+fx-f3x-3=limx→3+-4-x2+13x-3=limx→0--(3+x)(x-3)(x-3)=-6
D) ∴Como f_0y f+0 existen, f es derivable en x=3.

* 16. fx=-x23 si x≤0x23 si x>0 x=0
A)

B) a) f0=-023 =0
b)limx→0-fx=limx→0--x23 =-023 =0
limx→0+fx=limx→0+x23 =023 =0
∴limx→0-fx=limx→0+fx=0 EXISTE
c) f0=limx→0fx=0
∴f, es continua en x=0
C) a) f_0=limx→0-fx-f0x-0=limx→0--x23-0x=limx→0--1x13=+∞
b) f+0=limx→0+fx-f0x-0=limx→0+x23 -0x=limx→0+1x13=+∞
D) ∴Como f_0y f+0 no existen, f no es derivable en x=0. Existe una tangente vertical en x=0.
* 17. fx=x-2 si x<0x2 si 0≤x x=0
A)

B) a) f0=0, existe
b)limx→0-fx=limx→0-x-2 =0-2=-2
limx→0+fx=limx→0+x2 =02=0
∴limx→0-fx≠limx→0+fx NO EXISTE ∴f, no es continua en x=0
C) a)f_0=limx→0-fx-f0x-0=limx→0-x-2-0x= -∞
b) f+0=limx→0+fx-f0x-0=limx→0+x2-0x=limx→0+x=0
D) ∴Como f_0 no existe, f no es derivable en x=0. Existe una tangente vertical en x=0.

* 18. fx=x3 si x≤1x+1 si x>1 x=1
A)

B) a) f1=13=1
b)limx→1-fx=limx→1-x3 =13=1
limx→1+fx=limx→1+x+1 =1+1=2
∴limx→1-fx≠limx→1+fx NOEXISTE
C) a)f_1=limx→1-fx-f1x-1=limx→1-x3-1x-1=limx→1-x-1x2+x+1x-1=limx→1-x2+x+1=1+1+1=3
b) f+1=limx→1+fx-f1x-1=limx→1+x+1-1x-1=limx→1+xx-1=+∞.
f_-1≠ f+-1
D) ∴ f no es derivable en x=1.

* 19. fx=3x2 si x≤2x3 si 2<x x=2
A)

B) a) f2=322=12
b)limx→2-fx=limx→2-3x2 =322=12
b)limx→2+fx=limx→2+x3 =23=8
∴limx→2-fx≠limx→2+fx NOEXISTE
C) a)f_2=limx→2-fx-f2x-2=limx→2-3x2-12x-2=limx→2-3x+2(x-2)x-2=12
b) f+2=limx→2+fx-f2x-2=limx→2+x3-12x-2=-∞
f_2≠ f+2∴ f no es derivable en x=2.

* 20. fx=x2+1 si x<-11-x2 si x≥-1 x=-1
A)

B) a) f-1=1--12=0
b)limx→-1-fx=limx→-1-x2+1 =1+1=2
limx→-1+fx=limx→-1+1-x2 =1-1=0
∴limx→-1-fx≠limx→-1+fx NOEXISTE
C) a) f_-1=limx→-1-fx-f-1x+1=limx→-1-x2+1-0x+1=limx→-1-x2+1x+1=-∞b) f+-1=limx→-1+fx-f-1x+1=limx→-1+1-x2-0x+1=limx→-1+1-x1+xx-1=limx→-1+-1+x=-1+1=0.
f_-1≠ f+-1D) ∴ f no es derivable en x=-1.
* 21.

a) fx=1-x2 si x≤-1x+1 si -1<x≤0-x+1 si 0<x≤1x-1 si x≥1
b) f_-1=limx→-1-fx-f-1x+1=limx→-1-1-x2-0x+1=limx→-1-1-x=1+1=2
c) f+-1=limx→-1+fx-f-1x+1=limx→-1+x+1-0x+1limx→-1+1=1
d)f_0=limx→0-fx-f0x-0=limx→0-x+1-1x=1
e) f+0=limx→0+fx-f0x-1=limx→0+-x+1-2x-1 =limx→0+-1=-1
f) f_1=limx→1-fx-f1x-0=limx→1--x+1-1x=limx→1--xx=limx→1--1=-1.
g) f+1=limx→1+fx-f1x-0= limx→1+x-1x=limx→1+x-1-1x=limx→1+1=1.
h) f no es derivable para x=-1, x=0, x=1.

* 22.

a) fx=1+x2 si x≤-12x+2 si-1<x≤02-x si 0<x≤1x2 si x≥1
b) f_-1=limx→-1-fx-f-1x+1=limx→-1-1+x2-0x+1=limx→-1-1+x=1-1=0
c)f+-1=limx→-1+fx-f-1x+1=limx→-1+2x+2-0x+1limx→-1+2x+1x+1=limx→-1+2=2
d) f_0=limx→0-fx-f0x-0=limx→0-2x+2-2x=limx→0-2=2.
e) f+0=limx→0+fx-f0x-0=limx→0+2-x-2x =limx→0+-1=-1
f) f_1=limx→1-fx-f1x-1=limx→1-2-x-1x-1=limx→1-1-xx-1=limx→1--1=-1.
g) f+1=limx→1+fx-f1x-1= limx→1+x2-1x-1=limx→1+x+1x-1x-1=limx→1+x+1=1+1=2.
h) f no es derivable para x=-1, x=0, x=1.
* 23.

a) fx=12x+3 si x≤-1-x13si-1<x≤0x13 si 0<x≤1x si x>1
b) f_-1=limx→-1-fx-f-1x+1=limx→-1-12x+3-1x+1=limx→-1-x+12(x+1)=limx→-1-12=12.
c) f+-1=limx→-1+fx-f-1x+1=limx→-1+-x13-1x+1limx→-1+-1x23+x13+1=-13
d) f_0=limx→0-fx-f0x-0=limx→0--x13-0x=limx→0-x13x=limx→0--1x23=-∞.
e) f+0=limx→0+fx-f0x-0=limx→0+x13-0x =limx→0+1x23=∞.
f) f_1=limx→1-fx-f1x-1=limx→1-x13-1x-1=limx→1-1x23+x13+1=13....