Ejercicios de calaculo

PROBLEMAS1 INGENIERIA CIVIL INFORMATICA

Problema 1. a) Encuentre funci´n a(x) tal que el cambio de coordenadas o a(x) dx z = ye transforme la ecuaci´n o 1 1 x z + 2 2 en una ecuaci´n del tipo o z + sen y + qy = 0 , sen 1 x 4
2

cos

1 x z = 0. 2

con q una constante.
2

b) Usando a) encuentre la soluci´n general de o z + sen 1 1 x z + 2 2 sen 1 x 4 cos
1 1 1 x z = e 2 x e cos( 2 x). 2

Soluci´n. o

a) Para z = y e z z = e = e
a(x) dx a(x) dx

a(x) dx

tenemos

[y + a(x) y] , [y + 2a(x) y + (a (x) + (a(x))2 ) y] .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.1 + 0,2 puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Reemplazando en la ecuaci´n y dividiendo por e a(x) dx obtenemos o y + p(x) y + q(x) y = 0 , con 1 x , 2 . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.1 puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p(x) = 2 a(x) + sen q(x) = a (x) + a(x)2 + sen

y 1 1 2 1 1 x a(x) + sen x cos x . 2 2 4 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.2 puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Luego debemos poner 1 1 a(x) = − sen x . 2 2 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.1 puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Con este valor de a(x) tenemos q(x) = − = − 1 1 cos x 4 2 1 1 cos x 4 2
2

+ − −

1 1 sen x 4 2 1 1 sen x 4 2 1 1 cos x 4 2

2

−
2

1 1 sen x 2 2

2

+

1 1 sen x 2 4 cos 1 x 2

2

cos

1 x 2

+
2

1 1 1 − cos x 4 2

1 1 = − sen x4 2

1 = − . 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.2 puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1

Por lo tanto la ecuaci´n resultante es o 1 y = 0. 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.1 puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b) Como la soluci´n general de o 1 y − y = 0,4 es 1 1 y(x) = c1 e− 2 x + c2 e 2 x , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.1 puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . y 1 z = y e a(x) dx = y ecos( 2 x) , la soluci´n general de ecuaci´n homog´nea es o o e 1 1 1 z (x) = ecos( 2 x) c e− 2 x + c e 2 x . y −
h 1 2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.2puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Para encontrar una soluci´n particular zp (x) de la ecuaci´n no-homog´nea usamos o o e el m´todo de variaci´n de par´metros. Debemos, entonces resolver el sistema e o a  1 1 1 1  c1 (x) e− 2 x+cos( 2 x) + c2 (x) e 2 x+cos( 2 x) = 0 , 1 1  − 1 c (x) 1 + sen 1 x + 1 c (x) 1 − sen 1 x = e 2 x e cos( 2 x) ,
2 1 2 2 2 2

que esequivalente a c1 (x) e− 2 x + c2 (x) e 2 x = 0 , 1 1 1 −c1 (x) e− 2 x + c2 (x) e 2 x = 2 e 2 x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.2 puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tenemos entonces c1 (x) = −ex y c2 (x) = 1 =⇒ c2 (x) = x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.1 puntos . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . As´ ı 1 1 1 z (x) = ecos( 2 x) −ex e− 2 x + x e 2 x
p
1 1

=⇒

c1 (x) = −ex ,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.1 puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

= e 2 x+cos( 2 x) (x − 1) · . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.1 puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . Por lo tanto la soluci´n general de la ecuaci´n no-homog´nea es o o e 1 1 1 1 1 z(x) = e 2 x+cos( 2 x) (x − 1) + ecos( 2 x) c e− 2 x + c e 2 x ·
1 2

1

1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.2 puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Problema 2. Una masa de 0, 2 kilos que est´ adherida a un resorte...