Ejercicios De Calculo

Ejercicio.
(a) Demostrar que [pic] es una función impar.
(b) Encuentre la función inversa de [pic].
Solución:
(a) Para mostrar que la función es impar se tiene que probar que [pic].[pic]
La igualdad (∗) se tiene dado que
[pic]
(b) Sea [pic], entonces [pic]de donde [pic]lo cual implica que [pic]y despejando [pic]se obtiene [pic]. Así pues, la función inversa es: [pic]Ejemplo:
[pic]
Ejercicio: Resuelva la desigualdad [pic]
Solución. Dado que la función exponencial es creciente se tiene que [pic], lo que implica que debemos resolver la inecuación [pic],factorizando se tiene [pic]

[pic]
Por lo cual tenemos que el intervalo solución es: [pic].
Observe que no podemos reemplazar por [pic] en la ecuación inicial, lo cual es contradictorio con lasolución obtenida¡ 
¿Cuál es el error que se está cometiendo?
Ejercicio. Exprese la función [pic]como una composición de tres funciones.
Solución. [pic],  [pic],  [pic]
[pic]Ejercicio. Si [pic]y [pic], encuentre las funciones (a) [pic], (b) [pic], (c) [pic], (d) [pic], y sus dominios.
Solución. Observe inicialmente que: [pic]y [pic]; [pic]y [pic].
(a) [pic]
[pic]
(b)[pic]

[pic]
(c) [pic]

[pic]
(d) [pic]

[pic]
Ejercicio. Encuentre una expresión para la función cuya gráfica consta de un segmento de línea del punto [pic]hasta el punto [pic]junto conla mitad superior de la circunferencia con centro en el origen y radio 1.
Solución. Encontremos primero la pendiente de la recta que pasa por los dos punto: [pic], de aquí tenemos que laecuación de la recta es [pic], esto es [pic], es de recordar que este segmento está definido para [pic]. Por otra parte, para encontrar la ecuación de la mitad superior de la circunferencia concentro en el origen y radio 1, utilicemos la ecuación general de la circunferencia: [pic], y despejemos [pic]: [pic], con [pic]. Luego la función que buscamos es:

[pic]
 
[pic][pic]