Ejercicios de cardinalidad de conjuntos 2 mejorado

Gerardo Gómez Ávalos.
Profesor de Matemáticas y Computación.
Ejercicios de cardinalidad de conjuntos:
1.

Sean A, B, C tres conjuntos en un mismo universo. Determinar la cardinalidad de los
conjuntos: A, B y C considerando que:

Solución:
Para determinar la cardinalidad de los conjuntos A, B y C debemos hacer uso de las
propiedades de cardinalidad y de las propiedades de los conjuntos.
Comosabemos del dato 4) que:
Dato 4)
Por propiedad
Propiedad:
Dato 5)

Ahora por dato 3), tenemos que:
Dato 3)
Propiedad:
Dato 8) y reemplazo de

Utilizando el dato 2) obtendremos el valor de

:
Dato 2)
Propiedad:
Propiedad:

Datos: 1), 5), 6), 7) y 8).

1

Gerardo Gómez Ávalos.
Profesor de Matemáticas y Computación.

Una forma de comprobar que el ejercicio está resuelto de manera correcta, es utilizandodiagramas de Ven.
 Primero, sabemos que tenemos tres conjuntos: A, B y C en un mismo universo,
entonces tenemos el siguiente diagrama:
A

B

U

C

 Luego utilizando los datos, comenzando por la intersección que involucra más
conjuntos:
#(\ \ ) = 3 obtenemos:
A

B

U
3

C

 Seguido de aquellas intersecciones de dos en dos:
#(\ ) = 4; #(\ ) = 8; #(\ ) = 11.
A

B

U

8
1

3

Notarque: 3 + 5 = 8
5

C
Notar que: 3 + 1 = 4

2

Gerardo Gómez Ávalos.
Profesor de Matemáticas y Computación.


Ahora bien, también sabemos que #(- ) =12 (n° de elementos que están en A pero

que no están en C), entonces:
A

B

U

8

4
1

3

5

C


Por otra parte, #([ ) = 23 (n° de elementos que están en A o están en B),
entonces:
A

B

U

8

4
1

3

2
5

C


Utilizando el dato #([ [ )C=5 (todos los elementos que no están en A, ni
en B, ni en C), entonces:
A

B

U

8

4
1

3

2
5
5

C

3

Gerardo Gómez Ávalos.
Profesor de Matemáticas y Computación.


Y como en total son treinta datos (#= 30), sólo nos faltan 11:

A

B

U

8

4
1

3

2
5

2
5

C

Sumando obtenemos que:
#A = 16.
#B = 18
#C = 11.
2. En un universo de Nelementos se tienen dos conjuntos y tales que:

a)Determinar #A.
b) Si N = 80 determinar

Solución:
a) Sabemos que

, entonces:

Dato
Ley de Morgan
Propiedad:
Dato: universo de Nelementos
Resultado de la ecuación.
Propiedad:
Datos:
y
Resultado de la ecuación.
b) Si N = 80 entonces tenemos:

Por ejercicio 2 parte a) tenemos que:
Entonces:

4

Gerardo Gómez Ávalos.
Profesor de Matemáticas y Computación.

3. En un curso compuesto por 22 alumnos; 12estudian Alemán; 11 estudian inglés y 11
francés, 6 estudian alemán e inglés; 7 estudian Inglés y Francés; 5 estudian alemán y
francés y 2 estudian los tres idiomas. ¿Cuántos alumnos estudian sólo inglés?
Solución:
Primero definiremos los siguientes conjuntos:
Sean A, I y F tres conjuntos tales que:
A: es el conjunto de alumnos que estudian alemán.
F: es el conjunto de alumnos que estudianfrancés.
I : es el conjunto de alumnos que estudian inglés.
Donde el universo es el curso, entonces interpretando los datos tenemos que:
“En un curso compuesto por 22 alumnos”
“12 estudian Alemán”
“11 estudian inglés”
“11 estudian francés”
“6 estudian alemán e inglés”
“7 estudian Inglés y francés”
“5 estudian alemán y francés”
“2 estudian los tres idiomas”
Antes de contestar la pregunta planteada,recordamos que dada la definición de unión,
intersección y complemento de conjuntos siempre podemos interpretar en lenguaje
común; la unión de conjuntos (
) como una conexión “o”;
la intersección de conjuntos (
) como una conexión “y”; y
la negación de conjuntos (
) como un “no”. Por lo tanto, dado que
nuestra pregunta es: ¿Cuántos alumnos estudian sólo inglés?, esta puede ser
interpretada de maneraequivalente, para ser escrita en lenguaje algebraico, como:
¿Cuántos alumnos estudian inglés y no francés y no alemán?, o sea lo que nos preguntan
es:
Entonces:

5

Gerardo Gómez Ávalos.
Profesor de Matemáticas y Computación.

Respuesta: En el curso en cuestión no hay alumnos que sólo estudien inglés.
4. En una encuesta sobre preferencias de los canales de T.V., 7, 9 y 13 se obtuvo la
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