ejercicios de complejos 1° bachiller
MATEMÁTICAS 1º BACH. CNS
COMPLEJOS II
1. Si z y w son dos números complejos, demuestra que z w z w
2. Sean los complejos z
2
2
6
2
i y w 1 3 i . Se pide
(a) Forma polar de z y w
(b) Calcular
(c) Las raíces cuartas de
z
w
z
en forma polar y binómica
w
(d) Representar gráficamente las raíces cuartas.
3. En un triánguloisósceles ZOX tenemos ZO=ZX=13 cm y OX=24 cm. El punto W, situado en la
prolongación de ZO dista 13 cm de O.
a) Calcula la longitud de WX por métodos trigonométricos
b) Si O es el origen de coordenadas y X el afijo del complejo x=24+0i, halla dos complejos z y
w cuyos afijos puedan ser los puntos Z y W del enunciado. Representación gráfica.
c) Halla el complejo x - w. ¿Qué relación hay entre lalongitud de WX hallada en el apartado a)
y el módulo del complejo x - w?
3z w 6i
4. Resuelve el sistema
z wi 1 i
5. Halla el módulo y el argumento del complejo z
y binómica los complejos z, -z, 1/z
anteriores.
6. Halla k para que w=
( k 3i ) (1 i ) 3
3 i
6
2
3 2i sen 62º i cos 62º
y da en forma polar
cos 31º i sen 31º
y z .Representa gráficamente los números complejos
sea un número real.
7. Da en forma binómica la solución de la ecuación
z 1
a bi . ¿Hay algún valor del complejo
z
a+bi para el que no tenga solución?
4
z 1
8. Resuelve la ecuación:
1
z
9. Calcula el módulo, argumento, inverso y conjugado del complejo z
w 1 z z 2 z 3 z 4 z 5
1
3
i y el complejo
2 2IESARAMO
MATEMÁTICAS 1º BACH. CNS
SOLUCIONES COMPLEJOS II
1.- Si z y w son dos números complejos, demuestra que z w z w
Demostración:
a) En forma polar: Si z=m y w=r , como z z
y arg(z)=-arg( z )
z w m r ( m r ) ( m r )( ) m r z w
b) En forma binómica:
( a bi ) ( c di ) ( ac bd ) ( ad bc )i ( ac bd ) (ad bc )i ( ac bd ) ( ad bc )i
( a bi ) ( c di ) ( a bi ) ( c di )
2
2.- Sean los complejos z
2
(a) Forma polar de z y w
(b) Calcular
6
2
i y w 1 3 i . Se pide
(c) Las raíces cuartas de
z
w
z
en forma polar y binómica
w
(d) Representar gráficamente las raíces cuartas.
Resolución:
(a) z 2
2
w
arcsen 6 / 2 arcsen 23
2
2
2
6
z
2 ; arg( z )
2
/
2
2
arccos 1 3
arccos
2
2
3
2
arcsen
arg( w )
arccos
2;
3
2
1
2
2
2
w 2 2
3
3
2 2 2
z
2
2
3
0i
w
2 2
2
2
2
0
3
b)
c)
1
2
2
4
z
4 22 4 22
8 1 0 k 2
0
k
2
0
2
w
4
4
, k 0 , 1, 2 ,
1
1 c
1
8
82
2 0
1
1 ic
2
8
82
2
2
1
1 c
3
8
82
2
1
1 ic
4
8
82
2 3
2
z
2d) Los afijos de las raíces cuartas del complejo
son los vértices de un cuadrado inscrito en una
2
w
1
circunferencia de centro el origen de coordenadas y de radio
8
2
2
3
2
Se cumple: c2=c1·i; c3=c2·i =c1·i ; c4=c3·i= c2·i =c1·i
Cada raíz cuarta se obtiene multiplicando la anterior por i=1/2
8
128
2
2
3
IESARAMO
MATEMÁTICAS 1º BACH. CNS
3.En un triángulo isósceles ZOX tenemos ZO=ZX=13 cm y OX=24 cm. El punto W, situado en la
prolongación de ZO dista 13 cm de O.
d) Calcula la longitud de WX por métodos trigonométricos
e) Si O es el origen de coordenadas y X el afijo del complejo x=24+0i, halla dos complejos z y
w cuyos afijos puedan ser los puntos Z y W del enunciado. Representación gráfica.
f) Halla el complejo x - w. ¿Qué...
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