ejercicios de Cálculo 3

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ
ESTUDIOS GENERALES CIENCIAS
Cálculo 3
Solucionario de Práctica N 3
Semestre Académico 2007-2
—
1. Analizar si los siguientes límites existen.Justi…carsu respuesta.
x3 y 2
(x;y)!(0;0) x3 + y
x (x 2)
(b)
lim
y+3
(x;y)!(2; 3)
(a)

lim

(2.0 pts)
(2.0 pts)

Solución.
(a) Tomando límites restringidos a los caminos C : y = mx3 :Entoncesx3
mx3
x3 y 2
= lim
x!0 x3 + mx3
(x;y)!(0;0) x3 + y

2

lim

= lim

1

x!0

m2 x3
1
=
:
m+1
m+1

(x;y)2C

Para m = 0, el límite es 1
1
Para m = 1 el límite es .
2
x3 y 2Así,
lim
no existe, pues dos límites restringidos son
(x;y)!(0;0) x3 + y
distintos.
(b) Tomando límites restringidos a los caminos C : y+3 = m (x
x (x 2)
x
2
x (x 2)
= lim
= lim
= :
limx!2 m (x
y+3
2) x!2 m
m
(x;y)!(2; 3)

2) :Entonces

(x;y)2C

Para m = 1, el límite es 2:
Para m = 2, el límite es 1.
x (x 2)
Así,
lim
no existe, pues dos límites restringidos son
y+3(x;y)!(2; 3)
distintos.
2. Dada la función f : R2 ! R, de…nida por
8 3
y3
< x
;
si xy
f (x; y) =
xy
:
0
; si xy
Analizar la existencia del límite

lim

(x;y)!(a;b)

(a) a 6= 0 ^ b6= 0:

6=

0

=

0

f (x; y) para :
(1.0 pto)

1

(b) a = 0 ^ b 6= 0:

(1.0 pto)

(c) a 6= 0 ^ b = 0:

(1.0 pto)

(d) a = 0 ^ b = 0:

(2.0 pts)

Solución.
(a) Cuando (a; b)es tal que a 6= 0 y b 6= 0, entonces
x3 y 3
a3 b3
lim
f (x; y) =
lim
=
:
xy
ab
(x;y)!(a;b)
(x;y)!(a;b)
(o por cocientes de límites).
(b) Cuando (0; b) es tal que b 6= 0, entonces
x3lim
f (x; y) = lim f (x; b) = lim
x!0

(x;y)!(0;b)

x!0

(c) Cuando (a; 0) es tal que a 6= 0, entonces
a3
lim
f (x; y) = lim f (a; y) = lim
y!0

(x;y)!(a;0)

y!0

b3
xb

=

1:=

1:

y3
ay

(d) Cuando (a; b) = (0; 0) tenemos que al evaluar dicho límites por el
camino
C : y = mx2 ;entonces
lim

(x;y)!(0;0)
(x;y)2C

f (x; y) =

2

lim

(x;y)!(0;0)

f...