Ejercicios De Distribución Binomial

Distribución Binomial
Nota:
Un experimento de Bernoulli puede tener como resultado un éxito con probabilidad p y un fracaso con probabilidad q = 1 – p. Entonces, la distribución de probabilidad de la variable aleatoria binomial X, el número de éxitos en n ensayos independientes, es
b (x; n, p)= px qn-x, x = 0,1, 2,...,n.
Con frecuencia nos interesamos enproblemas donde se necesita obtener P(X < r) o P(a ≤ X ≤ b). Las sumatorias binomiales

Teorema 4.3: Sea X una variable aleatoria con distribución de probabilidad f (x). La varianza de la variable aleatoria g(X) es (si es discreta, & si X es continua.)




Resolver los siguientes problemas:
1. La probabilidad de que un paciente se recupere de una rara enfermedad sanguínea es de 0.4. Si se sabe que 8personas contraen esta enfermedad.
¿Cuál es la probabilidad de que…?
a) 3 sobrevivan
p=0.4, x=1,2,3, n=8

= [() (0.4)3 (0.6)5 + () (0.4)2 (0.6)6 + () (0.4)1 (0.6)7 + () (0.4)0 (0.6)8 ] – [() (0.4)2 (0.6)6 + () (0.4)1 (0.6)7 + () (0.4)0 (0.6)8 ]
= 0.3142 – 0.0355
= 0.2787
b) A lo más 2 sobrevivan
p= 0.4, x= 1,2,3, n= 8

= () (0.4)0 (0.6)8 + () (0.4)1 (0.6)7 + () (0.4)2 (0.6)6.+ ()(0.4)3 (0.6)5
= 1 - 0.5940
= 0.4059
c) Entre 3 y 5 no sobrevivan
p= 0.4, n= 8

= [() (0.4)4 (0.6)4 + () (0.4)3 (0.6)5 + () (0.4)2 (0.6)6 + () (0.4)1 (0.6)7 + () (0.4)0 (0.6)8] – [() (0.4)2 (0.6)6 + () (0.4)1 (0.6)7 + () (0.4)0 (0.6)8]
= 0.8263 – 0.3153
= 0.511

2. Si la probabilidad de que una lámpara fluorescente tenga una vida útil de al menos 500 horas es 0.85,calcule las probabilidades de que entre 20 de estas lámparas.

a) 8 tengan una vida útil de al menos 500 horas
p= 0.85, n= 20 x= 1,2,3,4,5,6,7,8

= (0.85)0 (0.15)20 + (0.85)1 (0.15)19 + (0.85)2 (0.15)18 + (0.85)3 (0.15)17 + (0.85)4 (0.15)16 + (0.85)5 (0.15)15 + (0.85)6 (0.15)14 + (0.85)7 (0.15)13 + (0.85)8 (0.15)12
=5.0289x10-6 - 5.7537x10-7
// (20C8)(0.85)8(0.15)12 = 4.4536x10-6
= 4.453610-6
b) Almenos 5 tengan una vida útil de al menos 500 horas
p= 0.85, n=20 x= 0,1,2,3,4

= (0.85)0 (0.15)20 + (0.85)1 (0.15)19 + (0.85)2 (0.15)18 + (0.85)3 (0.15)17 + (0.85)4 (0.15)16
= 1 – 1.7322x10-10
= .9999
= 1
c) Al menos 2 no tengan una vida útil de al menos 500 horas
p= 0.85, x= 0,1, 2 n=20

= (0.15)0 (0.85)20 +(0.85)1 (0.15)19
=1 - 0.1755=0.8245
3. La probabilidad de que una cierta clase de componente pase con éxito una determinada prueba de calidad es de ¾. Encuentre la probabilidad de que exactamente 2 de los siguientes 4 componentes de que prueben pasen la prueba de calidad.
p= , x= 2, n= 4.
b (2; 4, ,)= ()2 (,)2= (4C2) ()2 (,)2=
4. Si de seis a siete de la tarde se admite que un número de teléfono de cada cinco estácomunicando, ¿cuál es la probabilidad de que, cuando se marquen 10 números de teléfono elegidos al azar, sólo comuniquen dos?
p= 1 de 5 o , x=2, n=10
b (2; 10, )= ()2 ()8= 0.30
5. La probabilidad de que un hombre acierte en el blanco es 1/4. Si dispara 10 veces ¿Cuál es la probabilidad de que acierte exactamente en tres ocasiones?
p= , x=3, n=10
b (3; 10, )= ()3 ()7= 0.25
6. La probabilidad de queun artículo producido por una fábrica sea defectuoso es p= 0.02. Se envió un cargamento de 10.000 artículos a unos almacenes. Hallar el número esperado de artículos defectuosos, la varianza y la desviación típica.
10.000 ---100%
200 --- 2%, (2) (10000)/100= número esperado de artículos es 200

X
10000
P(x)
0.02

200

= 1920800
7. Suponga que los motores de un aeroplano operan en formaindependiente y que fallan con una probabilidad de 0.4. Suponiendo que uno de estos artefactos realiza un vuelo seguro en tanto se mantenga funcionando cuando menos la mitad de los motores, determine que aeroplano, uno de 4 motores o uno de 2 motores, tiene mayor probabilidad de terminar su vuelo exitosamente.
p= 0.4, x=

8. De acuerdo con la teoría de la genética, un cierto cruce de conejillos de...