ejercicios de estadistica

UNIVERSIDAD DE ATACAMA
´
FACULTAD DE INGENIER´IA – DEPARTAMENTO DE MATEMATICA

ESTAD´ISTICA Y PROBABILIDADES
GU´IA 6: DISTRIBUCIONES MUESTRALES
Profesor: Hugo S. Salinas.

Segundo Semestre 2011

1. Si se extraen todas las muestras posibles de tama˜
no 16 de una poblaci´on normal con media 50 y
desviaci´on est´
andar 5, ¿Cu´
al es la probabilidad de que la media muestral X caiga enel intervalo
que va desde E(X) − 1.9DE(X) hasta E(X) − 0.4DE(X). Suponer que las medias muestrales se
pueden medir con cualquier grado de precisi´on.
R: P (Z < −0.4) − P (Z < −1.9) = 0.3159.
2. Se fabrica cierto tipo de hilo con una resistencia a la tracci´on media de 78.3 kilos y una desviaci´
on
est´andar de 5.6 kilos. ¿C´
omo cambia la varianza de la media muestral cuando el tama˜
no dela
muestra
a) aumenta de 64 a 196?
b) disminuye de 784 a 49?
R: a) Se reduce de 0.7 a 0.4 y b) aumenta de 0.2 a 0.8.
3. La v.a. X que representa el n´
umero de pasas en una empanada, tiene la siguiente distribuci´
on de
probabilidades
x
P (X = x)

4
0.2

5
0.4

6
0.3

7
0.1

a) Calcular E(X) y V ar(X).
b) Calcular E(X) y V ar(X) para muestras aleatorias de 36 empanadas.c) Calcular la probabilidad de que el n´
umero medio de aceitunas en 36 empanadas sea menor que
5.5.
R: a) 5.3, 0.81 b) 5.3, 0.0225 y c) 0.9082.
4. La vida media de una m´
aquina para hacer pasta es de siete a˜
nos, con una desviaci´on est´
andar de
un a˜
no. Supongamos que las vidas de estas m´aquinas siguen aproximadamente una distribuci´
on
normal, calcular
a) la probabilidad de quela vida media de una muestra aleatoria de nueve de estas m´
aquinas
est´e entre 6.4 y 7.2 a˜
nos.
b) el valor de x a la derecha del cual caer´ıa el 15 % de las medias calculadas de muestras aleatorias
de tama˜
no nueve.
R: a) 0.6898 y b) 7.35.
5. La distribuci´
on de alturas de cierta raza de perros terrier tiene una altura media de 72 cent´ımetros
(cm.) y una desviaci´
on est´
andarde 10 cm., mientras que la distribuci´on de alturas de cierta raza de
poodles tiene una altura media de 28 cm. con una desviaci´on est´andar de 5 cm. Supongamos que
las medias muestrales se pueden medir con cualquier grado de precisi´on, calcular la probabilidad de
Gu´ıa de Trabajo 6

1

que la media muestral para una muestra aleatoria de alturas de 64 terriers exceda la media muestralpara una muestra aleatoria de alturas de 100 poodles por cuando mucho 44.2 cm.
R: 0.5596.
6. Para una distribuci´
on chi cuadrado encontrar:
a) χ20.025 cuando ν = 15.
b) χ20.01 cuando ν = 7.
c) χ20.05 cuando ν = 24.
R: a) 27.488 b) 18.475 y c) 36.415.
7. Para una distribuci´
on chi cuadrado encontrar χ2α tal que:
a) P (χ2 > χ2α ) = 0.99 cuando ν = 4.
b) P (χ2 > χ2α ) = 0.025 cuando ν = 19.c) P (37.652 < χ2 < χ2α ) = 0.045 cuando ν = 25.
R: a) 13.277 b) 32.852 y c) 46.928.
8. Calcular la probabilidad √
de que una muestra aleatoria de 25 observaciones, de una poblaci´on normal
con desviaci´
on est´
andar 6, tenga una varianza muestral s2
a) mayor que 9.1.
b) entre 3.462 y 10.745.
Suponer que las varianzas muestrales son mediciones continuas.
R: a) 0.05 y b) 0.94.
9. Parauna distribuci´
on t, calcular:
a) P (T < 2.365) cuando ν = 7.
b) P (T > 1.318) cuando ν = 24.
c) P (−1.356 < T < 2.179) cuando ν = 12.
d ) P (T > −2.567) cuando ν = 17.
R: a) 0.975 b) 0.10 c) 0.875 y d) 0.99.
10. Dada una muestra aleatoria de tama˜
no 24 de una distribuci´on normal, calcular k tal que:
a) P (−2.069 < T < k) = 0.965.
b) P (k < T < 2.807) = 0.095
c) P (−k < T < k) =0.90
R: a) 2.500 b) 1.319 y c) 1.714.
11. Una poblaci´
on normal con varianza desconocida tiene una media de 20. ¿Se tiene posibilidad de
obtener una muestra aleatoria de tama˜
no 9 de esta poblaci´on con una media de 24 y una desviaci´
on
est´andar de 4.1? Si no, ¿qu´e conclusi´on sacar´ıas?
R: No, µ > 20.
12. Para una distribuci´
on F, calcular:
a) f0.05 con ν1 = 7 y ν2 = 15.

Gu´ıa...