Ejercicios De Inecuaciones

INECUACIONES
DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA
Forma general:

a·x + b > 0
a·x + b ≥ 0
a·x + b < 0
a·x + b ≤ 0

Para resolverlas se siguen los mismos pasos que en las ecuaciones de primer grado con una
incógnita:
1. Quitar paréntesis.
2. Quitar denominadores.
3. Agrupar términos semejantes a ambos lados de la desigualdad.
4. Despejar la incógnita.
En este último paso hay que teneren cuenta una propiedad de las desigualdades: “Si se
multiplican los dos miembros de una desigualdad por un número negativo cambia el sentido de la
misma”.
La solución de una inecuación de este tipo puede ser:
1. Un conjunto de números reales que se suele expresar en forma de intervalo.
2. Cualquier número real.
3. Ningún número real. Entonces se dice que no tiene solución.
EJERCICIOSRESUELTOS

1º) Resuelve:
a) 3x + 12 > 0
b) 8x − 16 ≥ 0
c) 5 x − 10 < 0
d) 9x + 27 ≤ 0
SOLUCIÓN:
a) 3 x > −12
−12
3

x>

x > −4

⇒

Solución: ( 4, +∞ )

⇒

Solución: [ 2, +∞ )

⇒

Solución: ( −∞,2 )

b) 8 x ≥ 16
x≥

16
8

x≥2
c) 5x < 10
x<

10
5

x 0
c) 18 − 6x ≤ 0
d) −7 x + 28 < 0
SOLUCIÓN:
a) −6 x ≥ −2
RECUERDA: En los casos en los que el coeficiente de lax sea negativo, se multiplican los
dos miembros por (−1) y por lo tanto, cambia el sentido de la desigualdad.

6x ≤ 2
x≤

2
6

x≤

1
3

⇒

1⎤
⎛
Solución: ⎜ −∞, ⎥
3⎦
⎝

b) −5x > −10

5 x < 10
x<

10
5
⇒

x 28
x>

28
7

x>4 ⇒

Solución: [ 4, +∞ )

3º) Resuelve:
a) 3x + 7 > 5 − 2x − 4

3 x + 2x > 5 − 4 + 7
5x > 8

x>

8
5

⇒

⎛8
⎞
Solución: ⎜, +∞ ⎟
⎝5
⎠

b) 12 − 8x − 9 ≥ x − 6 − 4x
−8 x − x + 4x ≥ −6 − 12 + 9
− x ≥ −9
x≤9

⇒

Solución: ( −∞,9]

c) 2x − 7 − 5x < 3 − x
2x − 5x + x < 3 + 7

−2x > 10
2x < −10
x 9 + 3 ( 2x − 4 )

5 x − 3 + 2x + 8 > 9 + 6x − 12
5 x + 2x − 6x > 9 − 12 + 3 − 8
x > −8

⇒

Solución: ( −8, +∞ )

d) 3x − 2·( 4 − 2x ) ≥ 5x − ( 7x + 9 )
3 x − 8 + 4x ≥ 5x − 7x − 9

3 x + 4x − 5x + 7x≥ −9 + 8

9 x ≤ −1
x≤−

1
9

⇒

1⎤
⎛
Solución: ⎜ −∞, − ⎥
9⎦
⎝

5º) Halla la solución de las siguientes inecuaciones con denominadores:
a)

x x + 1 2x − 5
+
<
−1
2
3
6

6x 4·( x + 1) 2·( 2x − 5 ) 12
+
<
−
12
12
12
12

⎡ 6x 4·( x + 1) 2·( 2x − 5 ) 12 ⎤
12·⎢
+
<
−⎥
12
12
12 ⎦
⎣ 12
6x + 4·( x + 1) < 2·( 2x − 5 ) − 12

6 x + 4x + 4 < 4x − 20 − 12
6 x + 4x −4x < −20 − 12 − 4

6 x < −36
x−
8
2
4

−

5x − 4 4x 3·( 2 − 3x )
>
−
8
8
8

⎡ 8·( 3 − 2x ) 5x − 4 4x 3·( 2 − 3x ) ⎤
−
>
−
8·⎢
⎥
8
8
8
8
⎣
⎦
8·( 3 − 2x ) − ( 5x − 4 ) > 4x − 3·( 2 − 3x )

24 − 16x − 5x + 4 > 4x − 6 + 9x
−16x − 5x − 4x − 9x > −6 − 24 − 4
−34x > −34

34x < 34
x<

34
34

x
− (5 + x )
4
2

1 − 2x x + 1
>
−5−x
4
2

1 − 2x x + 1
⎡⎤
4·⎢3x − 15 +
>
− 5 − x⎥
4
2
⎣
⎦
12x − 60 + 1 − 2x > 2·( x + 1) − 20 − 4x
12x − 2x − 2x + 4x > 2 − 20 + 60 − 1
12x > 41
x>
b)

41
12

⇒

⎛ 41
⎞
Solución: ⎜ , +∞ ⎟
⎝ 12
⎠

1
7
·( 2 − 5x ) + 2x ≥ − ( 3x + 2 )
3
4

2 − 5x
7
+ 2x ≥ − 3x − 2
3
4

7
⎡ 2 − 5x
⎤
12·⎢
+ 2x ≥ − 3x − 2 ⎥
4
⎣3
⎦

4·( 2 − 5x ) + 12·2x ≥ 3·7 − 12·3x − 12·2
8 − 20x + 24x ≥ 21 − 36x− 24

−20x + 24x + 36x ≥ 21 − 24 − 8
40x ≥ −11
x≥−

11
40

c) 5 − 2x +
5 − 2x +

⇒

⎡ 11
⎞
, +∞ ⎟
Solución: ⎢ −
⎣ 40
⎠

3x − 1
< 2·( 4 − 2x ) + 6
9

3x − 1
< 8 − 4x + 6
9

45 − 18x + 3x − 1 < 72 − 36x + 54
−18x + 3x + 36x < 72 + 54 − 45 + 1

21x < 82
82 ⎞
⎛
Solución: ⎜ −∞, ⎟
21 ⎠
⎝

x<

82
21

d)

3
x + 1 3 + 2x
·( 5 − x ) −
≤
−x
4
3
6

⇒

15− 3x x + 1 3 + 2x
−
≤
−x
4
3
6
45 − 9x 4x + 4 6 + 4x 12x
−
≤
−
12
12
12
12

45 − 9x − ( 4x + 4 ) ≤ 6 + 4x − 12x

45 − 9x − 4x − 4 ≤ 6 + 4x − 12x
−9x − 4x − 4x + 12x ≤ 6 − 45 + 4
−11x ≤ −35

11x ≥ 35
x≥

35
11

⇒

⎡ 35
⎞
Solución: ⎢ , +∞ ⎟
⎣ 11
⎠

EJERCICIO

1º) Resuelve las siguientes inecuaciones:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12....