Ejercicios de kkt

PROGRAMACIÓN NO LINEAL CON RESTRICCIONES DE DESIGUALDAD. EJERCICIOS RESUELTOS. 3. Dado el programa: Minimizar x2 - y2 s.a: x2 - y ≤ 1 calcular sus puntos críticos y probar que no hay mínimos globales pero si que hay un mínimo local. Solución La función lagrangiana del problema es: L(x, y, λ) = x2 - y2 + λ(x2 - y - 1) Condiciones necesarias de mínimo Las condiciones de Kuhn-Tucker son: ∂L = 2x +2λx = 0, λ(x2 - y - 1) = 0, ∂x ∂L = - 2y - λ = 0, λ ≥ 0. ∂y ∂L = x2 - y – 1 ≤ 0, ∂λ En primer lugar se buscan los puntos críticos del problema. Analizando los posibles valores de λ se obtienen los puntos críticos: • Si λ = 0, se tiene x = 0, y = 0. Al verificarse las condiciones de Kuhn-Tucker, se tiene que el punto (0, 0) con λ = 0 es un punto crítico. • Si λ ≠ 0, se tiene el sistema de tresecuaciones siguiente: x2 – y – 1 = 0, 2x + 2λx = 0, – 2y – λ = 0. De la ecuación 2x + 2λx = 0 se obtiene que 2x(1 + λ) = 0, de donde se deduce que x = 0 o λ = -1. Si λ = -1, no hay punto crítico porque no se cumplen las condiciones de Kuhn-Tucker, por tanto 1 + λ ≠ 0. Si x = 0, entonces y = -1, λ = 2. Se cumplen las condiciones de Kuhn-Tucker y por tanto, el punto (0, -1) con λ = 2 es punto crítico.Condiciones suficientes de mínimo. Analizando un entorno del punto (0, 0) se tiene que f(0, 0) = 0; para ε ≠ 0, f(0, ε) = - ε2 < 0 y f(ε, 0) = ε2 > 0, por tanto, en cualquier entorno de (0, 0) hay puntos en los que la función vale mas que cero y menos que cero, lo que significa que en ese punto no hay un mínimo.

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En un entorno del punto (0, -1) se tiene que y ≥ -1 y que x puede tomar valorespositivos y negativos. Analizando como en el caso anterior, se tiene que, f(0, -1) = -1; para ε ≠ 0 y 0 < δ < 2, tales que ε2 – (-1 + δ) < 1, (es decir, tales que el punto (ε, -1 + δ) sea del conjunto factible y por tanto, verifique la restricción) se verifica, f(0 + ε, -1 + δ) = ε2 – (-1 + δ)2 = ε2 – (1 - 2δ + δ2) = ε2 – 1 + 2δ - δ2 > -1, es decir, existe un entorno del punto (0, -1) en cuyospuntos la función siempre vale más que en el punto (0, -1), ya que para 0 < δ < 2, se tiene, 2δ - δ2 = δ(2 - δ) > 0 y ε2 > 0. Esto significa que en el punto (0, -1) hay un mínimo local. Sin embargo, este mínimo no es global, ya que hay puntos del conjunto factible en los que la función vale menos que en (0, -1), por ejemplo, en el punto (0, 4), que pertenece al conjunto factible ya que satisface larestricción, la función vale –16. 4. Si la función de utilidad de un consumidor es U(x, y) = xy, siendo x e y las cantidades consumidas de los bienes A y B, cuyos precios unitarios son 2 y 3 unidades monetarias, respectivamente, maximizar la utilidad de dicho consumidor sabiendo que no puede destinar más de 90 unidades monetarias a la adquisición de dichos bienes. Analizar la variación de lautilidad máxima si el consumidor puede destinar una u. m. más a la adquisición de dichos bienes. Solución El planteamiento del problema es el siguiente: Maximizar xy s.a: 2x + 3y ≤ 90 x, y ≥ 0 La función lagrangiana del problema es: L(x, y, λ1, λ2, λ3 ) = xy + λ1(2x + 3y - 90) + λ2x + λ3y Condiciones necesarias de mínimo Las condiciones de Kuhn-Tucker son: ∂L = y + 2λ1 + λ2 = 0, ∂x ∂L = x + 3λ1 + λ3 =0, ∂y ∂L = 2x + 3y - 90 ≤ 0, ∂ λ1 ∂L = x ≥ 0, ∂ λ2

λ1(2x + 3y - 90) = 0, λ2x = 0, λ3y = 0, λ1 ≤ 0, λ2, λ3 ≥ 0

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∂L = y ≥ 0, ∂ λ3 Puntos críticos Analizando los posibles valores de λ1, λ2, y λ3 se obtiene:

• Si λ1 = λ2 = λ3 = 0, entonces, al sustituir en las dos primeras ecuaciones, se obtiene,

x = y = 0. El punto (0, 0) con λ1 = λ2 = λ3 = 0 verifica las condiciones de KuhnTucker ypor tanto, es un punto crítico. • Si λ1 = λ2 = 0, λ3 ≠ 0, entonces, de λ3y = 0, se deduce que y = 0, y de la segunda ecuación, x = -λ3 ≥ 0. Puesto que debe ser λ3 ≥ 0, la única solución posible es y = 0, λ3 = 0, x = 0, en contra de las hipótesis de λ3 ≠ 0.

• Si λ1 = λ2 ≠ 0, λ3 = 0, entonces, de λ2x = 0, se deduce que x = 0, y de la primera

ecuación, y = - λ2 ≥ 0. Puesto que debe ser λ2 ≥...