Ejercicios De Lógica Matemática
Páginas: 8 (1801 palabras)
Publicado: 9 de julio de 2012
EJERCICIOS DE LOGICA MATEMATICA
A ) Usando tablas demostrar: 1 ) ( p’ )’ ⇔ p p V F 2 ) p ∧ p’ ⇔ F p V F 3 ) p ∨ p’ ⇔ V p V F 4) p∨V ⇔ V p V F 5) p∧V ⇔ p p V F 6) p∨F ⇔ p p V F 7) p∧F ⇔ F p V F F F F p∧F F F F F F p∨F V F V V V p∧V V F V V V p∨V V V p’ F V p ∨ p’ V V p’ F V p ∧ p’ F F p’ F V ( p’ )’ V F
8) p∧(p∨q) ⇔ p p V V F F 9) p∨(p∧q) ⇔ p p V V F F 10 ) ( p ∧ q )’ ⇔ p’ ∨ q’ p V V F F q VF V F p’ F F V V q’ F V F V p∧q V F F F ( p ∧ q )’ F V V V p’ ∨ q’ F V V V q V F V F p∧q V F F F p∨(p∧q) V V F F q V F V F p∨q V V V F p∧(p∨q) V V F F
11 ) ( p ∨ q )’ ⇔ p’ ∧ q’ p V V F F q V F V F p’ F F V V q’ F V F V p∨q V V V F ( p ∨ q )’ F F F V p’ ∧ q’ F F F V
12 ) ( p ∧ q ) ∧ r ⇔ p ∧ ( q ∧ r ) p V V V V F F F F q V V F F V V F F r V F V F V F V F p∧q V V F F F F F F q∧r V F F F V F F F(p∧q)∧r V F F F F F F F p∧(q∧r) V F F F F F F F
13 ) ( p ∨ q ) ∨ r ⇔ p ∨ ( q ∨ r ) p V V V V F F F F q V V F F V V F F r V F V F V F V F p∨q V V V V V V F F q∨r V V V F V V V F (p∨q)∨r V V V V V V V F p∨(q∨r) V V V V V V V F
14 ) ( p ↔ q ) ↔ r ⇔ p ↔ ( q ↔ r ) p V V V V F F F F q V V F F V V F F r V F V F V F V F p↔q V V F F F F V V q↔r V F F V V F F V (p↔q)↔r V F F V F V V F p↔(q↔r) V F FV F V V F
15 ) p ∧ ( q ∨ r ) ⇔ ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ r ) p V V V V F F F F q V V F F V V F F r V F V F V F V F p∧q V V F F F F F F p∧r V F V F F F F F q∨r V V V F V V V F p∧(q∨r) V V V F F F F F (p∧q)∨(p∧r) V V V F F F F F
16 ) p ∨ ( q ∧ r ) ⇔ ( p ∨ q ) ∧ ( p ∨ r ) p V V V V F F F F q V V F F V V F F r V F V F V F V F p∨q V V V V V V F F p∨r V V V V V F V F q∧r V F F F V F F F p∨(q∧r) V V V V VF F F (p∨q)∧(p∨r) V V V V V F F F
17 ) p’ ∨ q ⇔ p → q p V V F F q V F V F p’ F F V V p’ ∨ q V F V V p→q V F V V
18 ) p ↔ q ⇔ ( p → q ) ∧ ( q → p ) p V V F F q V F V F p→q V F V V q→p V V F V (p→q)∧(q→p) V F F V p↔q V F F V
19 ) p ↑ q ⇔ ( p ∧ q )’ p V V F F 20 ) p ↓ q ⇔ ( p ∨ q )’ p V V F F q V F V F p∨q V V V F ( p ∨ q )’ F F F V p↓q F F F V q V F V F p∧q V F F F ( p ∧ q )’ F V V V p↑q FV V V
21 ) p ⊕ q ⇔ ( p ∨ q ) ∧ ( p ∧ q )’ p V V F F q V F V F p∧q V F F F ( p ∧ q )’ F V V V p∨q V V V F ( p ∨ q ) ∧ ( p ∧ q )’ F V V F p⊕q F V V F
B ) A partir de los conectivos negación ( ‘ ) y disyunción ( ∨ ) se definen: p ∧ q =def ( p’ ∨ q’ )’ p → q =def p’ ∨ q p ↔ q =def ( p → q ) ∧ ( q → p ) p ⊕ q =def ( p ∧ q’ ) ∨ ( p’ ∧ q ) p ↑ q =def ( p ∧ q )’ p ↓ q =def ( p ∨ q )’ Utilizandoesas definiciones y las leyes de lógica matemática, demostrar las siguientes tautologías: 1 ) p → q ⇔ q’ → p’ q’ → p’ ⇔ ( q’ )’ ∨ p’ ( Definición ) ⇔ q ∨ p’ ( Doble Negación ) ⇔ p’ ∨ q ( Conmutatividad ) ⇔ p→q ( Definición ) 2 ) ( p → q )’ ⇔ p ∧ q’ ( p → q )’ ⇔ ( p’ ∨ q )’ ( Definición ) ⇔ ( p’ )’ ∧ q’ ( De Morgan ) ⇔ p ∧ q’ ( Doble Negación ) 3 ) p → ( q ∧ q’ ) ⇔ p’ p → ( q ∧ q’ ) ⇔ p → F (Complemento ) ⇔ p’ ∨ F ( Definición ) ⇔ p’ ( Identidad ) 4 ) ( q ∨ q’ ) → p ⇔ p ( q ∨ q’ ) → p ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ( q ∨ q’ )’∨ p V’ ∨ p F∨p p
( Definición ) ( Complemento ) ( Complemento ) ( Identidad )
5) (p∧q)→r ⇔ p→(q→r) ( p ∧ q ) → r ⇔ ( p ∧ q )’ ∨ r ⇔ ( p’ ∨ q’ ) ∨ r ⇔ p’ ∨ ( q’ ∨ r ) ⇔ p→(q→r)
( Definición ) ( De Morgan ) ( Asociatividad ) ( Definición )
6) p→(q→r) ⇔ q→(p→r) p → ( q → r ) ⇔ p’ ∨( q’ ∨ r ) ⇔ ( p’ ∨ q’ ) ∨ r ⇔ ( q’ ∨ p’ ) ∨ r ⇔ q’ ∨ ( p’ ∨ r ) ⇔ q→(p→r)
( Definición ) ( Asociatividad ) ( Conmutatividad ) ( Asociatividad ) ( Definición )
7) (p→q)↔p ⇔ p∧q (p→q)↔p ⇔ ((p→q)→p)∧(p→(p→q)) ⇔ ( ( p → q )’ ∨ p ) ∧ ( p’ ∨ ( p → q ) ) ⇔ ( ( p’ ∨ q )’ ∨ p ) ∧ ( p’ ∨ ( p’ ∨ q ) ) ⇔ ( ( p ∧ q’ ) ∨ p ) ∧ ( p’ ∨ ( p’ ∨ q ) ) ⇔ p ∧ ( p’ ∨ ( p’ ∨ q ) ) ⇔ p ∧ ( ( p’ ∨ p’ ) ∨ q ) ⇔ p ∧( p’ ∨ q ) ⇔ ( p ∧ p’ ) ∨ ( p ∧ q ) ⇔ F∨(p∧q) ⇔ p∧q 8) (p→q)↔q ⇔ p∨q (p→q)↔q ⇔ ((p→q)→q)∧(q→(p→q)) ⇔ ( ( p → q )’ ∨ q ) ∧ ( q’ ∨ ( p → q ) ) ⇔ ( ( p’ ∨ q )’ ∨ q ) ∧ ( q’ ∨ ( p’ ∨ q ) ) ⇔ ( ( ( p’ )’ ∧ q’ ) ∨ q ) ∧ ( q’ ∨ ( p’ ∨ q ) ) ⇔ ( ( p ∧ q’ ) ∨ q ) ∧ ( q’ ∨ ( p’ ∨ q ) ) ⇔ ( ( p ∧ q’ ) ∨ q ) ∧ ( q’ ∨ ( q ∨ p’ ) ) ⇔ ( ( p ∧ q’ ) ∨ q ) ∧ ( ( q’ ∨ q ) ∨ p’ ) ⇔ ( ( p ∧ q’ ) ∨ q ) ∧ ( V ∨ p’ ) ⇔...
A ) Usando tablas demostrar: 1 ) ( p’ )’ ⇔ p p V F 2 ) p ∧ p’ ⇔ F p V F 3 ) p ∨ p’ ⇔ V p V F 4) p∨V ⇔ V p V F 5) p∧V ⇔ p p V F 6) p∨F ⇔ p p V F 7) p∧F ⇔ F p V F F F F p∧F F F F F F p∨F V F V V V p∧V V F V V V p∨V V V p’ F V p ∨ p’ V V p’ F V p ∧ p’ F F p’ F V ( p’ )’ V F
8) p∧(p∨q) ⇔ p p V V F F 9) p∨(p∧q) ⇔ p p V V F F 10 ) ( p ∧ q )’ ⇔ p’ ∨ q’ p V V F F q VF V F p’ F F V V q’ F V F V p∧q V F F F ( p ∧ q )’ F V V V p’ ∨ q’ F V V V q V F V F p∧q V F F F p∨(p∧q) V V F F q V F V F p∨q V V V F p∧(p∨q) V V F F
11 ) ( p ∨ q )’ ⇔ p’ ∧ q’ p V V F F q V F V F p’ F F V V q’ F V F V p∨q V V V F ( p ∨ q )’ F F F V p’ ∧ q’ F F F V
12 ) ( p ∧ q ) ∧ r ⇔ p ∧ ( q ∧ r ) p V V V V F F F F q V V F F V V F F r V F V F V F V F p∧q V V F F F F F F q∧r V F F F V F F F(p∧q)∧r V F F F F F F F p∧(q∧r) V F F F F F F F
13 ) ( p ∨ q ) ∨ r ⇔ p ∨ ( q ∨ r ) p V V V V F F F F q V V F F V V F F r V F V F V F V F p∨q V V V V V V F F q∨r V V V F V V V F (p∨q)∨r V V V V V V V F p∨(q∨r) V V V V V V V F
14 ) ( p ↔ q ) ↔ r ⇔ p ↔ ( q ↔ r ) p V V V V F F F F q V V F F V V F F r V F V F V F V F p↔q V V F F F F V V q↔r V F F V V F F V (p↔q)↔r V F F V F V V F p↔(q↔r) V F FV F V V F
15 ) p ∧ ( q ∨ r ) ⇔ ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ r ) p V V V V F F F F q V V F F V V F F r V F V F V F V F p∧q V V F F F F F F p∧r V F V F F F F F q∨r V V V F V V V F p∧(q∨r) V V V F F F F F (p∧q)∨(p∧r) V V V F F F F F
16 ) p ∨ ( q ∧ r ) ⇔ ( p ∨ q ) ∧ ( p ∨ r ) p V V V V F F F F q V V F F V V F F r V F V F V F V F p∨q V V V V V V F F p∨r V V V V V F V F q∧r V F F F V F F F p∨(q∧r) V V V V VF F F (p∨q)∧(p∨r) V V V V V F F F
17 ) p’ ∨ q ⇔ p → q p V V F F q V F V F p’ F F V V p’ ∨ q V F V V p→q V F V V
18 ) p ↔ q ⇔ ( p → q ) ∧ ( q → p ) p V V F F q V F V F p→q V F V V q→p V V F V (p→q)∧(q→p) V F F V p↔q V F F V
19 ) p ↑ q ⇔ ( p ∧ q )’ p V V F F 20 ) p ↓ q ⇔ ( p ∨ q )’ p V V F F q V F V F p∨q V V V F ( p ∨ q )’ F F F V p↓q F F F V q V F V F p∧q V F F F ( p ∧ q )’ F V V V p↑q FV V V
21 ) p ⊕ q ⇔ ( p ∨ q ) ∧ ( p ∧ q )’ p V V F F q V F V F p∧q V F F F ( p ∧ q )’ F V V V p∨q V V V F ( p ∨ q ) ∧ ( p ∧ q )’ F V V F p⊕q F V V F
B ) A partir de los conectivos negación ( ‘ ) y disyunción ( ∨ ) se definen: p ∧ q =def ( p’ ∨ q’ )’ p → q =def p’ ∨ q p ↔ q =def ( p → q ) ∧ ( q → p ) p ⊕ q =def ( p ∧ q’ ) ∨ ( p’ ∧ q ) p ↑ q =def ( p ∧ q )’ p ↓ q =def ( p ∨ q )’ Utilizandoesas definiciones y las leyes de lógica matemática, demostrar las siguientes tautologías: 1 ) p → q ⇔ q’ → p’ q’ → p’ ⇔ ( q’ )’ ∨ p’ ( Definición ) ⇔ q ∨ p’ ( Doble Negación ) ⇔ p’ ∨ q ( Conmutatividad ) ⇔ p→q ( Definición ) 2 ) ( p → q )’ ⇔ p ∧ q’ ( p → q )’ ⇔ ( p’ ∨ q )’ ( Definición ) ⇔ ( p’ )’ ∧ q’ ( De Morgan ) ⇔ p ∧ q’ ( Doble Negación ) 3 ) p → ( q ∧ q’ ) ⇔ p’ p → ( q ∧ q’ ) ⇔ p → F (Complemento ) ⇔ p’ ∨ F ( Definición ) ⇔ p’ ( Identidad ) 4 ) ( q ∨ q’ ) → p ⇔ p ( q ∨ q’ ) → p ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ( q ∨ q’ )’∨ p V’ ∨ p F∨p p
( Definición ) ( Complemento ) ( Complemento ) ( Identidad )
5) (p∧q)→r ⇔ p→(q→r) ( p ∧ q ) → r ⇔ ( p ∧ q )’ ∨ r ⇔ ( p’ ∨ q’ ) ∨ r ⇔ p’ ∨ ( q’ ∨ r ) ⇔ p→(q→r)
( Definición ) ( De Morgan ) ( Asociatividad ) ( Definición )
6) p→(q→r) ⇔ q→(p→r) p → ( q → r ) ⇔ p’ ∨( q’ ∨ r ) ⇔ ( p’ ∨ q’ ) ∨ r ⇔ ( q’ ∨ p’ ) ∨ r ⇔ q’ ∨ ( p’ ∨ r ) ⇔ q→(p→r)
( Definición ) ( Asociatividad ) ( Conmutatividad ) ( Asociatividad ) ( Definición )
7) (p→q)↔p ⇔ p∧q (p→q)↔p ⇔ ((p→q)→p)∧(p→(p→q)) ⇔ ( ( p → q )’ ∨ p ) ∧ ( p’ ∨ ( p → q ) ) ⇔ ( ( p’ ∨ q )’ ∨ p ) ∧ ( p’ ∨ ( p’ ∨ q ) ) ⇔ ( ( p ∧ q’ ) ∨ p ) ∧ ( p’ ∨ ( p’ ∨ q ) ) ⇔ p ∧ ( p’ ∨ ( p’ ∨ q ) ) ⇔ p ∧ ( ( p’ ∨ p’ ) ∨ q ) ⇔ p ∧( p’ ∨ q ) ⇔ ( p ∧ p’ ) ∨ ( p ∧ q ) ⇔ F∨(p∧q) ⇔ p∧q 8) (p→q)↔q ⇔ p∨q (p→q)↔q ⇔ ((p→q)→q)∧(q→(p→q)) ⇔ ( ( p → q )’ ∨ q ) ∧ ( q’ ∨ ( p → q ) ) ⇔ ( ( p’ ∨ q )’ ∨ q ) ∧ ( q’ ∨ ( p’ ∨ q ) ) ⇔ ( ( ( p’ )’ ∧ q’ ) ∨ q ) ∧ ( q’ ∨ ( p’ ∨ q ) ) ⇔ ( ( p ∧ q’ ) ∨ q ) ∧ ( q’ ∨ ( p’ ∨ q ) ) ⇔ ( ( p ∧ q’ ) ∨ q ) ∧ ( q’ ∨ ( q ∨ p’ ) ) ⇔ ( ( p ∧ q’ ) ∨ q ) ∧ ( ( q’ ∨ q ) ∨ p’ ) ⇔ ( ( p ∧ q’ ) ∨ q ) ∧ ( V ∨ p’ ) ⇔...
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