Ejercicios De Matematicas

Matemática Discreta y Lógica Matemática Hoja 1 de ejercicios. Facultad de Informática.
1. Demuestra mediante inducción que las siguientes propiedades se cumplen para todo número entero n ≥ 1. Indicaen cada caso que tipo de inducción usas. a) 1 + 2 + . . . + n = b) 12 + 22 + . . . + c) 13 + 23 + . . . +
(n2 +n) 2 n2 = n(n+1)(2n+1) 6 2 n3 = n(n+1) 2

2. Demuestra mediante inducción que lassiguientes propiedades se cumplen para todo número natural n. Indica en cada caso que tipo de inducción usas. a) b) c)
n i=1

i=

n∗(n+1) . 2

1 1 1∗2∗3 + 2∗3∗4 + n i=1 (4 ∗ i − 3)

···+

1n∗(n+1)∗(n+2)

=

n∗(n+3) 4∗(n+1)∗(n+2)

∀n ≥ 1.

= n ∗ (2 ∗ n − 1).

d ) 3 + 3 ∗ 5 + · · · + 3 ∗ 5n = (3/4) ∗ (5n+1 − 1). e) 1 ∗ 1! + 2 ∗ 2! + · · · + n ∗ n! = (n + 1)! − 1. f)
1 2

+

322

+

5 23

+ ···+

2∗n−1 2n

=3−

2∗n+3 2n

∀n ≥ 1.

3. Demuestra que para todo entero n ≥ 2 se cumple la siguiente igualdad: 1 ∗ 2 + 2 ∗ 3 + 3 ∗ 4 + . . . + (n − 1) ∗ n = (n − 1)n(n+ 1) 3

4. Llamamos factorial de n al producto 1 ∗ 2 ∗ . . . ∗ n, que escribimos n!. Demuestra que para todo entero n ≥ 2, n! < nn . 5. Demuestra que para todo entero n ≥ 1, n impar, existe unentero m tal que n2 − 1 = 8m. 6. Demuestra que para todo entero n ≥ 4, n2 > 3n. 7. Demuestra que para todo entero n ≥ 2 que se cumplen las siguientes desigualdades: a) n2 > n + 1 b) 2n+1 < 3n c)
1 n+1+

1 n+2

+ ...+

1 2n

>

13 24

8. Demuestra que para todo natural n, 23n − 1 es divisible por 7. 9. Demuestra que la suma de los cubos de tres números naturales consecutivos esdivisible por 9. 10. Demuestra que, para todo n ≥ 1, 23n−1 + 5n es múltiplo de 3. 11. Demuestra que dados dos números enteros a, b con a = 0 y b = 1, para todo n natural, se verifica la igualdad: abn+1 − a a +ab + ab2 + . . . + abn = b−1

12. Demuestra que dado un entero m = 1, para todo entero n ≥ 2 se cumple: 1 + m + m2 + . . . + mn = mn+1 − 1 m−1

13. Encuentra a partir de qué valor natural la...