Ejercicios de matemáticas

HOJA 1: Introducción
1. Para cada una de las desigualdades que siguen, determinar el conjunto de números reales que las
satisfacen. Dibujar dicho conjunto.
b)(*)−5|x + 3|< 4x − 5 c)(*) |x| + 2 <|x|
3

a)(*) |9 − 2x|< 1
e)(*)

x 2 −16x−1
x−3

≥ 0 f) |x − 3|+|x + 3|< 10

d)(*) 1 < |3 − 2x|

g) |x − 3|+|x + 3|< α, α ∈ R h)| x−1 |−1 ≥ 0
x

2. (*)Interpreta geométricamente lasdesigualdades a), b), c) y d) mediante las funciones
a) y = |9 − 2x| ; y = 1
c) y =

|x|
3

b) y = −5|x + 3| ; y = 4x − 5

+ 2 ; y = |x|

d) y = 1 ; y = |3 − 2x|

3. Discutir si secumplen las desigualdades siguientes :
a) (*)|x + y| ≤ |x| + |y|

b)(*)|x| + |y| ≤ |x + y|

g)(*) |x − y| ≤ |x| + |y|

c)(*) |x − y| ≤ |x| − |y|

d)(*) |x| − |y| ≤ |x − y|

h)(*) |x| + |y| ≤ |x −y|

e)(*) ||x| − |y|| ≤ |x| + |y|

f) |x| + |y| ≤ ||x| − |y||

i) ||x| − |y|| ≤ |x| − |y|

4. Discutir la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones
a) x < y ⇒ x 2 < y 2

b) |x|< |y|⇒ x 2 < y 2

c) x 2 < y 2 ⇒ x < y

d) x 2 < y 2 ⇒ |x|< |y|

5. Obtener para los conjuntos A ⊂ R que se definen a continuación, el máximo y el mínimo, si los
hubiera, para α = −1, α = 0 y α = 1a) A = x : senx = α

b) A = x : cos x = α

c) A = x : e x ≤ α

d) A = x : e x ≥ α

e) A = x : ln x ≤ α

f) A = x : ln x ≥ α

6. (*)En R = R × R se define la siguienterelación: a, b ≤ c, d si y sólo si a ≤ c y b ≤ d.
Comprobar que ”≤” es una relación de orden parcial. Sean A = x, y ∈ R 2 | x + y ≤ 1,
B = x, y ∈ R 2 | |x|≤ 1; |y|≤ 1, C = x, y ∈ R 2 | 0 ≤ y≤ 4 − x 2 ,
D =x, y ∈ R 2 | x 2 − 9 ≤ y ≤ 0 y E = x, y ∈ R 2 : |x|≤ y ≤ 6 − x 2 .
Obtener para los conjuntos anteriores, si los hubiera, el máximo y el mínimo, los maximales y
los minimales.7. (*)Sean fx = 1/x y gx = x 2 − 1.
2

a) Hallar el dominio y la imagen de estas funciones.
b) Hallar fg2 y gf2.
c) Hallar fgx y gfx.
8. (*)Hallar el dominio y la...