Ejercicios de matrices gauss

1. En una f´brica de ropa se producen tres estilos de camisas a los que llamaremos I, II y a III. Cada camisa pasa por tres procesos: cortado, cosido y planchado. Las camisas se elaboran por lotes. El tiempo en minutos requerido para producir un lote se indica en el siguiente cuadro: Cortado 30 50 65 Cosido 40 50 40 Planchado 50 50 15

Tipo I Tipo II Tipo III

¿Cu´ntos lotes de cada tipo decamisas se pueden producir si se emplean exactamente 8 a horas en cada uno de los procesos? Resolver el sistema planteado usando eliminaci´n gaussiana y dar todas las soluciones o enteras no negativas. Soluci´n o Sean x, y e z la cantidad de lotes de tipo I, II y III respectivamente. El sistema correspondiente al problema anterior y su matriz asociada son    30 50 65 | 480  30x + 50y + 65z =480 40x + 50y + 40z = 480 =⇒  40 50 40 | 480   50x + 50y + 15z = 480 50 50 15 | 480 entonces  6 10  4 5 10 10  6 =⇒  0 0   13 | 96 6 10  =⇒  0 − 5 4 | 48 3 3 | 96 0 − 20 3   6 10 13 | 96 5 14 | 48  =⇒  0 0 0 0 | 0   13 | 96 − 14 | −16  =⇒  3 − 56 | −64 3  0 −15 | 0 5 14 | 48  =⇒ 0 0 | 0 0, entonces 24 7 z∧z 0  6 10 13 | 96 0 5 14 | 48  0 20 56 | 192 6x − 15z = 0 5y + 14z = 485 48 − 14z De donde x = z , y = . Pero y 2 5 48 − 14z 5 de donde z = 0, 1, 2, 3. Luego    z        z   z       z  Respuesta. (5, 4, 2)

0 =⇒

= 0 =⇒ = 1 =⇒ = 2 =⇒ = 1 =⇒

0,

48 ,0 5 5 34 , ,1 2 5 (5, 4, 2) 15 47 ,− ,3 2 3

2. Micaela desea cubrir sus requerimientos vitam´ ınicos semanales de exactamente 13 unidades de vitamina A, 22 de vitamina B y 31 de vitaminaC. Existen disponibles tres marcas de c´psulas vitam´ a ınicas en el mercado. La marca I contiene 1 unidad de cada una de las vitaminas A, B y C; la marca II contiene 1 unidad de 1

vitamina A, 2 de B y 3 de C, y la marca III contiene 4 unidades de A, 7 de B y 10 de C. Si las c´psulas de la marca I cuestan 50 c´ntimos cada una, las de la marca II cuestan 70 a e c´ntimos cada una, y la marca III,2 soles cada una. e (a) ¿Qu´ combinaci´n de c´psulas de las marcas I, II y III producir´ exactamente las e o a a unidades de vitaminas deseadas? (b) ¿Cu´l de esas combinaciones le ocasionar´ menor gasto semanal a Micaela? a a Soluci´n o (a) Consideremos el siguiente cuadro: A B C Marca I 1 1 1 Marca II 1 2 3 Marca III 4 7 10 13 22 31

Sean x, y, z las cantidades de c´psulas de las marcas I, IIy III respectivamente, a entonces el sistema de ecuaciones lineales y la matriz asociados a este problema est´ a dado por   x + y + 4z = 13 x + 2y + 7z = 22  x + 3y + 10z = 31 Realizando operaciones elementales fila    1 1 4 | 13 1  0 1 3 | 19  =⇒  0 =⇒ 0 2 6 | 18 0 Entonces  y se tiene    1 4 | 13 1 1 4 | 13 1 3 | 9  =⇒  0 1 3 | 9  1 3 | 9 0 0 0 | 0 y = 9 − 3z x = 4−z z 3  1 1 4 |13  1 2 7 | 22  1 3 10 | 31

x + y + 4z = 13 =⇒ y + 3z = 9

(x, y, z) = (4 − z, 9 − 3z, z), donde 0 Se tienen las siguientes combinaciones (4, 9, 0) (3, 6, 1) (2, 3, 2) (1, 0, 3) o (b) La combinaci´n que ocasiona menor gasto es (1, 0, 3).

3. La siguiente tabla muestra los porcentajes de alb´mina, carbohidrato y l´ u ıpido en cada uno de los alimentos A, B y C. A 30% 30% 40% 2 B 50% 30%20% C 20% 70% 10%

Alb´mina u Carbohidr´to a L´ ıpido

(a) ¿Es posible obtener 1kg de comida que contenga solo esos tres alimentos en un porcentaje de 47% de alb´mina, 35% de carbohidrato y 18% de l´ u ıpido? Si la respuesta es afirmativa, explicar qu´ cantidades en gramos se requerir´ de cada uno de ellos e ıa y si es negativa, justificar porqu´ no se podr´ e ıa. (b) Y si se pidiera combinarlos tres alimentos para obtener una comida con 40% de alb´mina, 40% de carbohidrato y 20% de l´ u ıpido, ¿cambiar´ la respuesta anterior? ıa Justificar. Soluci´n o (a) Se tiene el sistema de ecuaciones lineales y la matriz correspondiente  47   3 5 2 | 10  30x + 50y + 20z = 47   3 3 7 | 35 30x + 30y + 70z = 35 y   10  40x + 20y + 10z = 18 18 4 2 1 | 10 haciendo operaciones fila en la matriz...