Ejercicios De Mecánica Estadística

EJERCICIOS 1.- Mostrar que el segundo coeficiente del virial para el potencial de Sutherland, definido por
⎧∞ u ( r ) = ⎨ -γ ⎩- cr Es r σ

2πσ 3 ∞ 1 ⎛ 3 ⎞⎛ c ⎞ B3 = − ∑ j! ⎜ iγ − 3 ⎟⎜ σ γ kT ⎟ ⎜ ⎟3 j =0 ⎝ ⎠ ⎠⎝

j

el parámetro γ , usualmente, es tomado como 6

sol.: La expresión para el segundo coeficiente del virial, cuando el potencial es una función sólo de la distancia relativaentre las partículas, es

B2 = −2π ∫ e − βu − 1 r 2 dr
0 ∞ ⎧ σ 2 ⎫ − β cr −γ 2 = −2π ⎨− ∫ r dr + ∫ e − 1 r dr ⎬ σ ⎩ 0 ⎭ ⎧ 1 3 ∞ ∞ β cr −γ j 2 ⎫ ⎪ ⎪ = −2π ⎨− σ + ∫ ∑ r dr ⎬ j! ⎪ 3 ⎪ σ j =1 ⎩ ⎭ ⎧ 1 3 ∞(β c ) j ∞ −γj + 2 ⎫ = −2π ⎨− σ + ∑ ∫ r dr ⎬ j! σ j =1 ⎩ 3 ⎭

∞

(

)

(

)

(

)

sabemos que − γj + 2 < 0 para todos los valores de j, entonces la serie se anula cuando r → ∞ ,luego
⎧ 1 3 ∞ ⎛ 1 ⎞ (β c ) j ⎫ −γj + 3 B2 = −2π ⎨− σ + ∑ ⎜ ⎬ ⎟ ⎜ − γj + 3 ⎟ j! − σ 3 j =1 ⎝ ⎠ ⎩ ⎭

(

)

2πσ 3 ∞ 1 ⎛ 3 ⎞⎛ c ⎞ =− ∑ j! ⎜ γj − 3 ⎟⎜ σ γ kT ⎟ ⎟ 3 j =0 ⎜ ⎠ ⎝ ⎠⎝

j

La cual coincidecon la expresión esperada

2.- Mostrar que la expansión del virial para la energía termodinámica es
∞ E 3 1 dB j +1 j = −T∑ ρ NkT 2 j dT j =1

Y que la entropía es
∞ 1 d (TB j +1 ) j S S0 = −∑ρ Nk Nk j =1 j dT

Sol.: De la primera y segunda ley de la termodinámica tenemos
dE = TdS − pdV

A T cte., derivamos respecto al volumen
⎛ ∂E ⎞ ⎛ ∂S ⎞ ⎟ −p ⎜ ⎟ = T⎜ ⎝ ∂V ⎠T ⎝ ∂V ⎠T

(1)Pero de F = E − TS , expresión para la energía libre, se tiene que la entropía es ⎛ ∂F ⎞ S = −⎜ ⎟ ∂T ⎠V ⎝ Por tanto su variación respecto al volumen, a T constante
∂ ⎛ ∂F ⎞ ∂ ⎛ ∂F ⎞ ⎛ ∂S ⎞ ⎟ =− ⎜ ⎟ =−⎜ ⎟ ⎜ ∂T ⎝ ∂V ⎠T ∂V ⎠T ∂V ⎝ ∂T ⎠V ⎝

Pero ⎛ ∂S ⎞ ⎛ ∂F ⎞ ⎛ ∂E ⎞ ⎟ −T⎜ ⎟ ⎜ ⎟ =⎜ ⎝ ∂V ⎠T ⎝ ∂V ⎠T ⎝ ∂V ⎠T De (1) se tiene
⎛ ∂F ⎞ ⎟ = −p ⎜ ∂V ⎠T ⎝

Luego,
⎛ ∂S ⎞ ⎛ ∂P ⎞ ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ∂V ⎠T ⎝ ∂T ⎠V ⎝Sustituyendo en (1)
⎛ ∂E ⎞ ⎛ ∂P ⎞ ⎟ −p ⎜ ⎟ = T⎜ ⎝ ∂T ⎠V ⎝ ∂V ⎠T

Tenemos que la expansión del virial para la presión es
p = kT ∑ B j ρ j
j =1
∞

Luego derivando respecto a la temperatura, a...