Ejercicios de metodos nuemricos

MÉTODOS NUMÉRICOS

SOLUCIÓN NUMÉRICA DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y NO-LINEALES
1. Para un sistema de ecuaciones lineales 3 × 3 sometido a procesos iterativos se obtuvieron: Para el método de Jacobi:

 0 0 1 Matriz de iteración de Jacobi: BJ =  0 0 1     0 2 0    − 13  Vector de términos constantes independientes: bJ =  0     35   
Para el método de Gauss-Seidel:Matriz de iteración de Gauss-Seidel: BG − S

0 = 0  0 

− 12
1 4

1

−

1 16

3  5  8 1  6

Vector de términos independientes: bG − S

 − 316  =  16     − 112   

Se pide: a) Decidir sobre la convergencia o divergencia de cada uno de los métodos iterativos de Jacobi y Gauss-Seidel para tal sistema. b) Calcular

BJ

1

,

BJ

∞

,

BG − S

1,

BG − S
(0 )

∞

, ρ(BJ

) y ρ (BG − S ) .

c) Tomando como aproximación inicial a X

1 () = 1 , calcular X 1 , en ambos procesos iterativos.   1  

2. Considerar el sistema

 x1 + 2 x 2 + 4 x3 = 15   4 x1 + x2 + x3 = 9  2 x + 4 x + x = 16  1 2 3
a) Reorganizarlo de tal manera que la matriz del sistema sea E.D.D. o lo más parecido a una matriz de esta forma.Universidad Nacional de Colombia - Sede Medellín

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MÉTODOS NUMÉRICOS

b) Obtener paso a paso, en aritmética exacta, las matrices de iteración de los métodos de Jacobi y Gauss-Seidel. Además, dar las fórmulas matriciales de iteración para ambos métodos. 3. Considerar el siguiente sistema lineal:

 4 x − y + z = −14  − x − 2 y + z = 5  2 x + y − 4 z = −19 
a) Para el sistema dado,obtener la matriz de iteración del método de Jacobi ( BJ ) y el vector de

términos independientes ( bJ ). Concluir si el proceso iterativo de Jacobi converge o no. Justificar. Utilice aritmética exacta. b) Para el sistema dado, obtener la matriz de iteración de Gauss-Seidel ( BG − S ) y el vector de términos independientes ( bG − S ). Concluir si el proceso iterativo de Gauss-Seidel converge ono. Utilice aritmética exacta. 4. Usar un procedimiento iterativo para aproximar soluciones a sistemas lineales y en el caso del sistema

 − x + 5 y + z = 18   3 x + y − z = −2  x + y − 4 z = −6 
T (0) calcular dos iteraciones, tomando X = (0 , 0 , 0) . Examinar la convergencia o divergencia del procedimiento iterativo que usted escogió. Conclusión y justificación.

Si cree que esconveniente reorganizar el sistema antes de efectuar cálculos, hágalo. Justificar su decisión. 5. Para el sistema lineal siguiente:

 3x − 2 y + 5z = 2   3 x − y − z = −4  x + 4 y − 2 z = −3 
Si alguno de los métodos iterativos de Jacobi y Gauss-Seidel resulta convergente para el sistema dado, calcule dos iteraciones. Dar la matriz de iteración para los métodos iterativos de Jacobi yGauss-Seidel. Justificar la convergencia. Dejar indicadas las sustituciones numéricas antes de realizar cálculos. 6. Considerar el sistema de ecuaciones lineales

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MÉTODOS NUMÉRICOS

+ 2 x4 = 2 4 x1 + x 2  x − 3x + x =− 3  1 2 3   x1 + x 2 + 4 x3 + x4 = 4  x 2 + x3 − 2 x4 = 0 
a) Escriba las fórmulas de iteración y la matriz de iteraciónde los métodos iterativos de Jacobi y Gauss-Seidel para resolver el sistema dado. b) Determine, utilizando el procedimiento adecuado, la convergencia o divergencia de los métodos iterativos de Jacobi y Gauss-Seidel para el sistema dado. Si alguno de los métodos es (0 ) convergente, calcule 10 iteraciones tomando como aproximación inicial X = 0 y calcule (10 ) (9) X −X . Concluya, si le es posible,con cuántas cifras decimales exactas aproxima

X

(10 )

∞

a la solución exacta X del sistema dado.

7. Considere el sistema

 − x1 + 4 x 2 − x3 = 1  − x 2 + 4 x3 = 1   4x − x =1  1 2
a) Dar una reorganización del sistema para que tanto el método iterativo de Jacobi como el de Gauss-Seidel sean convergentes. Justificar por qué está seguro de la convergencia. b) Para el sistema...