Ejercicios de numeros reales

EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES (R)

El conjunto de los números reales está constituido por los conjuntos:

N números naturales

Z números enteros

Q números racionales

I números irracionales

A continuación se muestra, en un diagrama de Venn su composición:

Aquí podemos observar las siguientes características entre los reales y sus subconjuntos:R=Q∪I , Q∩I=∅ , N C Z ∁ Q

El conjunto de los números Reales tiene dos operaciones: Suma y producto. Estas operaciones satisfacen las siguientes propiedades.

i) Si a , b R entonces a+b R
ii) Si a , b R entonces a+b=b+a
iii) Si a, b, c R entonces (a+b)+c=a+(b+c)
iv) Existe un elemento 0 R tal que a+0=0+a=a para todo a R
v) Para cada elemento a R, hay un elemento -aR tal que;
a+(-a)=(-a)+a=0.
vi) Si a , b R entonces ab R
vii) Si a , b R entonces ab=ba
viii) Si a, b, c R entonces (ab)c=a(bc)
ix) Existe un elemento 1 R tal que a1=1a=a para todo a R
x) Para cada elemento a R, a hay un elemento R tal que;
a()=()a=1.
xi) Si a, b, c R entonces: a(b+c)=ab+ac y (a+b)c=ac+bc

Nota: El símbolo se lee “Pertenece a…”

Existe unsubconjunto no vació R+ de R llamado el conjunto de los números reales positivos que satisfacen las siguientes propiedades:

i) Si a y b pertenecen a R+ entonces a +b pertenece a R+
ii) Si a y b pertenecen a R+ entonces ab pertenece a R+
iii) Si a pertenece a R entonces se satisface una sola de las siguientes propiedades:
a pertenece a R+, a = 0 , - a pertenece a R+ (Propiedad detricotomía)

De igual manera existe un subconjunto no vació R- de R llamado el conjunto de los números reales negativos, que se define así: R- ={-a / aR+}.

POTENCIACIÓN

Definición

Sea a un número real, entonces el producto de a por sí mismo n veces se escribe:
a.a.a.a……..a = an donde a es la base y n es el exponente.

PROPIEDADES

1.
2.
3.
4.anm=anm
5.
6.
7.
8.9.
10.

EJERCICIOS

1. Simplifique las expresiones usando las propiedades de potenciación.

RADICACIÓN

Definición.

Sea n un entero positivo mayor que 1 y a un número real. Se define la raíz enésima de a como donde se llama el radicando, n es el índice del radical y es el símbolo de radicación. Se presentan los siguientes casos:

1. Si a = 0 entonces = 0
2. Si a > 0entonces es el número real positivo, b, tal que
3. Si a < 0 y n es impar, entonces es el número real negativo, b, tal que
4. Si a < 0 y n es par, entonces no es un número real.

Observaciones

La expresión se llama raíz cuadrada de a, también se escribe
La expresión se llama raíz cúbica de a
La expresión se llama raíz cuarta de a

PROPIEDADES DE RADICACIÓN

SIMPLIFICACIÓN DERADICALES

Un radical se encuentra simplificado si:

1. La cantidad subradical No tiene factores con potencias mayores que el valor del índice.

Ejemplo: El radical No está simplificado, hay factores que se deben extraer del radical, así:

(Aplicando propiedades)

2. La expresión NO es una sucesión de radicales uno dentro del otro.

Ejemplo: El radical No está simplificado, aplicandola propiedad 3, tenemos:

3. El índice del radical no es simplificable.

Ejemplo: El radical No se encuentra simplificado, aplicando propiedades, tenemos:


Entonces:
=

OPERACIONES CON RADICALES

Radicales semejantes.

Dos radicales son semejantes si tienen el mismo y el mismo radicando.

Suma de radicales.

Sólo es posible sumar radicales semejantes.

Ejemplos:

=Producto de radicales.

Para multiplicar radicales se usa la propiedad

Ejemplo:

División de radicales.

Para dividir radicales es usa la propiedad
Ejemplo.

EJERCICIOS

1. Simplifique los radicales.

2. Realice las operaciones.

POLINOMIOS

Polinomios de variable Real (x).

Un polinomio de grado n y variable real ( x ) es una expresión algebraica de la forma:

donde...