Ejercicios De Olimpiadas De Matematicas

XIII OLIMPIADAS BOLIVARIANAS Y
XXXI OLIMPIADAS COLOMBIANAS
DE MATEMATICAS
PRUEBA CLASIFICATORIA NACIONAL
SOLUCIONARIO - NIVEL INTERMEDIO
Marzo 22, 2012
Comentarios generales
El presente solucionario proporciona al menos una soluci´n a cada problema de la Prueba
o
Clasificatoria Nacional de Primer Nivel de este a˜o y muestra que todos los problemas pueden
n
solucionarse utilizandoconceptos pertenecientes a la matem´tica anterior al c´lculo. Si se
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a
da m´s de una soluci´n a un problema, el prop´sito es ilustrar un contraste significativo de
a
o
o
m´todos, por ejemplo, algebraico vs. geom´trico, conceptual vs. computacional, elemental vs.
e
e
avanzado. Estas soluciones no son de manera alguna las unicas posibles, ni son necesariamente
´
superiores a las que el lectorpueda idear.
Esperamos que los profesores trabajen estas soluciones con sus alumnos, tanto para ilustrar el ingenio que interviene en la soluci´n de problemas no rutinarios como para que tengan
o
oportunidad de conocer una buena exposici´n matem´tica. En las exposiciones a veces se
o
a
omiten c´lculos rutinarios o razones obvias para un procedimiento determinado. Esto pera
mite dar mayor´nfasis a las ideas esenciales que subyacen a cada soluci´n. Recordamos que
e
o
la reproducci´n de estas soluciones est´ restringida por las leyes que protegen el derecho de
o
a
autor. Derechos Reservados por la AMS. Totalmente prohibida la reproducci´n total o parcial
o
del contenido de esta prueba por cualquier medio sin permiso.
Cualquier inquietud u observaci´n acerca de los problemas ysoluciones de la Prueba Clasio
ficatoria Nacional puede dirigirse a
Mar´ Losada
ıa
Directora, Olimpiadas Colombianas de Matem´ticas
a
Cra. 38 # 58A−77 Santaf´ de Bogot´.
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a
1

NIVEL INTERMEDIO
1
1. (D) Como 20 segundos es 3 de un minuto, Carolina puede decorar 5 ÷ 1 = 15 bizcochos
3
1
en cinco minutos. Ya que 30 segundos es 1 de un minuto, Luisa puede decorar 5 ÷ 2 = 10
2bizcochos en cinco minutos. Juntas pueden decorar 15 + 10 = 25 bizcochos en cinco
minutos.

2. (E) El largo de cada rect´ngulo es igual a la longitud del lado del cuadrado. El ancho
a
de cada rect´ngulo es la mitad de la longitud de lado del cuadrado, por lo tanto las
a
dimensiones del rect´ngulo son 4 por 8.
a
3. (E) La distancia de −2 a −6 es |(−6) − (−2)| = 4 unidades. La distancia de −6 a 5es
|5 − (−6)| = 11 unidades. El escarabajo camina en total 4 + 11 = 15 unidades.
4. (C) El rayo AB es com´n a ambos ´ngulos, por lo tanto la medida en grados de ∠CBD
u
a
es o bien 24 + 20 = 44 o bien 24 − 20 = 4. La menor medida en grados que puede tener
es 4.
5. (B) El n´mero de gatas adultas era 50, y 25 de ´stas estaban acompa˜adas cada una por
u
e
n
un promedio de 4 gatitos. Por lotanto el n´mero total de gatitos era 25 · 4 = 100, y el
u
n´mero total de gatos adultos y gatitos era 100 + 100 = 200.
u
6. (D) Sea x > 0 el primer n´mero, y sea y > 0 el segundo n´mero. La primera afirmaci´n
u
u
o
4
1
implica xy = 9. La segunda afirmaci´n implica x = y , de donde, y = 4x. Substituyendo
o
se obtiene x · (4x) = 9, entonces x =

9
4

= 3 . Por lo tanto x + y =
23
2

+4·

3
2

=

15
2.

7. (C) La raz´n entre canicas azules y canicas rojas es 3 : 2. Si el n´mero de canicas rojas
o
u
4
se duplica, la raz´n ser´ 3 : 4, y la fracci´n de canicas que son rojas ser´ 3+4 = 7 .
o
a
o
a4
8. (D) Sean a < b < c los tres n´meros enteros. El conjunto de sumas de estos n´meros es
u
u
(a + b, a + c, b + c) = (12, 17, 19). Por lo tanto 2(a + b +c) = (a + b) + (a + c) + (b + c) = 12 +
17 + 19 = 48, y a + b + c = 24. Se sigue que (a, b, c) = (24 − 19, 24 − 17, 24 − 12) = (5, 7, 12).
Por lo tanto el n´mero del medio es 7.
u
9. (D) La suma podr´ ser 7 unicamente si el dado par mostraba 2 y el dado impar 5, el
ıa
´
dado par mostraba 4 y el impar mostraba 3, o el par mostraba 6 y el impar mostraba
1. Cada uno de estos eventos puede...