Ejercicios De Optimizaci N

Ejercicios desarrollados de Optimización
1. Se desea construir una caja de base cuadrada y abierta por la parte superior, utilizando para
ello una lámina cuadrada de 1,20 m. de lado, recordando un cuadrado pequeño en cada
esquina y doblando los bordes hacia arriba. Determinar la longitud de los lados para obtener
una caja de volumen máximo.
Solución
Se construye la figura según el enunciado.1,2m

x

x

x

x

1,2-2x

1,2m

1,2-2x

x

Fig. a

1,2m–2x

x

x

x

1,2m–2x

x

Fig. c

Fig. b

El volumen de la caja es:
V(x)  (1,2  2x)2 x

Derivar la función volumen e igualar a cero para encontrar el valor de x que maximice al
volumen. Es decir:
V '(x) 

12
(5x  1)(5x  3)  0
25

Puntos críticos:

1 3
 ; 
5 5 
Ubicar los puntos críticos en la recta real:

+
–

–
1/5

+
3/5

+

1
3
m 0,2m maximiza al volumen y x  m  0,6m
5
5
minimiza al volumen. Por lo tanto, las dimensiones de la caja que tiene volumen máximo es:

Del gráfico se concluye que x 

0,8m

0,2m
0,8m
Fig. d

2. Una pieza de una hoja de metal es rectangular y mide 5 m de ancho por 8 m de largo. Se
cortan cuadrados congruentes en sus cuatro esquinas. La pieza resultante de metal se dobla
y une para formar unacaja sin tapa. ¿Cómo debe hacerse esto para obtener una caja con el
mayor volumen posible?
Solución
Se construye la figura según el enunciado.
8m

x

x

x

x

8-2x
5-2x

5m

x

x
x

8–2x

x
5–2x

x

Fig. a

Fig. c

Fig. b

El volumen de la caja es:
V(x)  (5  2x)(8  2x)x

Derivar la función volumen e igualar a cero para encontrar el valor de x que maximice al
volumen. Es decir:

V '(x)  4(3x2 13x  10)  4(x  1)(3x  10)  0
Puntos críticos:

 10 
1; 
 3
Ubicar los puntos críticos en la recta real:

+
–

–
1

+
10/3

+

10
m  3,3m minimiza al
3
volumen. Por lo tanto, las dimensiones de la caja que tiene volumen máximo es:

Del gráfico se concluye que x  1m maximiza al volumen y x 

6m

1m
3m
Fig. d

3. Una ventana rectangular coronada por un semicírculo, tiene un perímetrodado. Determinar
las dimensiones que dejan pasar el máximo de luz.

Solución

Se construye el gráfico según el enunciado en un plano cartesiano:
Y
Perímetro P:
0

–y

x

X

P= longitud de la semicircunferencia + los tres lados del
rectángulo.
P=  x + 2x + 2y  y 

P  (   2)x
2

Qué pase la máxima luz significa que el área de la ventana debe ser
máximo. Entonces el área total es:

Área total =Área del Círculo + Área del rectángulo

A(x) 

x2
x2
P  (   2)x
x2
 2xy 
 2x[
]  Px 
 2x 2
2
2
2
2

Derivando e igualando a cero se tiene:

A '(x)  P  x  4x  0  x 

P
4

Use el criterio de la segunda derivada.

A ''(x)    4  0  A(

P
) es valor máximo de la función área.
4

Por lo tanto, las dimensiones de la venta son:
Radio del circulo :
x 

P
;
4

Base delrectángulo:
2x 

2P
4

Altura del rectángulo:

y 

P  (   2)x

2

P  (   2)

P
(   4)

2



P(   4)  (   2)P
P

2(   4)
(   4)

Altura de la ventana:
yx 

2P
4

4. Un granjero tiene 200 metros de barda con las que desea construir tres lados de un corral
rectangular; una pared grande ya existente formará el cuarto lado. ¿Qué dimensiones
maximizarán el área del corral?Solución.

Perímetro:
Pared
200  2x  y  y  200  2x

Área:

x
y

A(x)  xy  x(200  2x)

Derivar la función área e igualar.
A '(x)  200  4x  0  x  50

Derivar por segunda vez para demostrar si este punto crítico maximiza o no al área. Es decir:
A ''(x)  4  0  A(50) es área máxima

Por lo tanto, las dimensiones del corral son:
Largo: y = 100 m
Ancho: x=50m

5. Se necesita diseñar una latacilíndrica con radio r y altura h. La base y la tapa deben hacerse
de cobre, con un costo de 2 céntimos / centímetro cuadrado. El lado curvo se hace de
aluminio, que cuesta 1 céntimo/centímetro cuadrado. Buscamos las dimensiones que
maximicen el volumen de la lata. La única restricción es que el costo total de la lata sea
300 céntimos.
Solución

Base y Tapa

r

r

h

Lado Lateral
r
h

2r...