Ejercicios De Probabilidad

GRADO EN ADMINISTRACIÓN Y DIRECCIÓN DE EMPRESAS
ESTADÍSTICA PARA LA EMPRESA I
UNIVERSIDAD DE MURCIA

Relación 4
Fundamentos de Probabilidad y Variables Aleatorias
1ª PARTE: Ejercicios del 1 al 11

Profesor: ANTONIO MARTÍNEZ ALCARAZ

1.-

Sean A, B, C, tres sucesos cualesquiera. Determine expresiones para los siguientes
sucesos:
Sol:
b) Ocurren A y B, pero no C:

a) Ocurre sóloA: A ∩ B ∩ C

A ∩ B ∩ C = ( A ∩ B ) − ( A ∩ B ∩ C)

c) Ocurren los tres sucesos : A ∩ B ∩ C

d) Ocurre al menos uno : A ∪ B ∪ C

e) Ocurren al menos dos:

( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) ∪ (B ∩ C )

g) Ocurren dos y sólo dos:

( A ∩ B ∩ C) ∪ ( A ∩ B ∩ C) ∪ ( A ∩ B ∩ C)

f) Ocurre uno y sólo uno:

( A ∩ B ∩ C) ∪ ( A ∩ B ∩ C) ∪ ( A ∩ B ∩ C)

h) No ocurre ninguno: A ∩ B ∩ C = A ∪ B ∪ Ci) No ocurren más de dos: A ∩ B ∩ C

2.-

Sean A y B dos sucesos tales que P(A)=1/2, P(A ∪B)=3/4, P( B )=5/8. Calcule
P(A ∩ B), P(A ∩ B), P(A ∪ B) y P(A ∩ B) .
Sol:

•

P(A∩B)?
Sabiendo que P(B)=1-P( B )=1-5/8=3/8, tenemos:
P(A∩B)= P(A)+P(B)-P(AUB) =1/2+3/8-3/4=1/8

•

P( A ∩ B ) ?
P( A ∩ B ) = P( A ∪ B) = 1 − P( A ∪ B) = 1 −

•

P( A ∪ B ) ?
P( A ∪ B ) = P( A ∩ B) = 1 − P( A∩ B) = 1 −

•

17
=
88

P( A ∩ B) ?
Por el siguiente esquema tenemos que

Unión que es disjunta, por tanto
despejando tenemos:

B = ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ B)

P ( B ) = P ( A ∩ B ) + P ( A ∩ B ) y, por último,

P( A ∩ B) = P( B ) − P( A ∩ B) =

3.-

31
=
44

3121
−==
8884

Una cadena de hamburgueserías observó que el 75% de todos los clientes
consumen mostaza, el 80% consumeketchup y el 65% consume los dos. ¿Cuál es
la probabilidad de que un cliente consuma al menos uno de los dos productos?
Sol:
Definimos los sucesos:
A= “Consumir mostaza”

B= “Consumir ketchup”
Así el suceso cuya probabilidad se pide es:
AUB = “Consumir al menos uno de los dos productos”
Por tanto:
P(AUB)=P(A)+P(B) - P(A∩B)= 0,75+0,80-0,65=0,9

4.-

Una empresa, que debe decidir siadquiere un determinado paquete de acciones,
solicita un informe a tres asesores financieros para que se pronuncien a favor o en
contra de la compra. Por experiencias anteriores en operaciones similares, se sabe
que los tres asesores tienen actitudes ante el riesgo diferentes e independientes
que se plasman en las siguientes probabilidades de aconsejar la compra, 0,8; 0,5 y
0,3,respectivamente. Calcule:
a) La probabilidad de que al menos uno de ellos aconseje la compra.
Sol:
A=” Consejo a favor de la compra del primer asesor”
B=” Consejo a favor de la compra del segundo asesor”
C=” Consejo a favor de la compra del tercer asesor”
Según el enunciado, sabemos que A, B y C son independientes. Además también
lo son respecto a sus complementarios.
Entonces el suceso “Al menos unode ellos aconseja la compra”= A U B U C, y
por tanto, y teniendo en cuenta que son independientes:
P(A U B U C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A ∩ B)-P(A ∩ C)-P(B ∩ C)+P(A ∩ B ∩ C)
= 0,8+0,5+0,3-0,8—0,5-0,8—0,3-0,5—0,3+0,8—0,5—0,3=0,93

b) La probabilidad de que al menos dos aconsejen la compra.
Sol:
Llamaremos S= ”Al menos dos aconsejan la compra”.
Entonces, considerando los sucesos:

A ∩ B ∩ C=“Aconsejan la compra solo el primer y segundo asesor”
A ∩ B ∩ C =“Aconsejan la compra solo el primer y tercer asesor”
A ∩ B ∩ C =“Aconsejan la compra solo el segundo y tercer asesor”
A ∩ B ∩ C =“Aconsejan la compra los tres asesores”
se tiene que S es la unión disjunta de los cuatro sucesos anteriores, por tanto, y
teniendo en cuenta que son independientes:

P( S ) = P( A ∩ B ∩ C ) + P( A ∩ B ∩ C) + P( A ∩ B ∩ C ) + P( A ∩ B ∩ C ) =
0,8—0,5—0,7+0,8—0,5—0,3+0,2—0,5—0,3+0,8—0,5—0,3 = 0,55

c) La probabilidad de que ninguno de ellos aconseje adquirir el paquete de acciones, y
probabilidad de que todos aconsejen la compra.
Sol:

•

Ninguno aconseja la compra:
N=”Ninguno aconseja la compra”=

A ∪ B ∪ C , luego:

P ( ) = P ( A ∪ B ∪ C ) = 1 − P ( A ∪ B ∪ C ) = 1 − 0,93 =...