Ejercicios de programacion lineal

PROBLEMA 19
Un fabricante de juguetes prepara un programa de producción para dos nuevos juguetes, cosas y cositas, utilizando la información concerniente a sus tiempos de producción dados en la tabla que sigue. Por ejemplo, cada cosa requiere de 2 horas en la maquina A. Las horas disponibles empleadas por semana son: para operación de la maquina A, 70 horas; para B, 40 horas; para terminado, 90horas. Si las utilidades en cada cosa y en cada cosita son de $ 4 y $6, respectivamente, ¿Cuántos de cada juguete deberá producir por semana con el fin de maximizar la utilidad? ¿Cuál sería la utilidad máxima?
| MAQUINA A | MAQUINA B | TERMINADO | UTILIDAD |
COSA | 2 horas | 1 hora | 1 hora | $ 4 |
COSITA | 1 hora | 1 hora | 3 horas | $ 6 |
DISPONIBLE EMPLEADOS | 70 horas | 40 horas | 90horas | |

Función Objetivo: MAX (U) = (4X₁ + 6X₂)
Restricciones:
2X₁ + 1X₂≤ 70
1X₁ + 1X₂≤ 40
1X₁ + 3X₂≤ 90
Condición de No Negatividad: X₁ , X₂≥ 0

X₁ = 0 | X₂ = 20 | P(0;20), P(30;0) |
X₁ = 30 | X₂ = 0 | |

1 | X₁ = 0 | X₂ = 70 | P(0;70), P(35;0) |
| X₁ = 35 | X₂ = 0 | |
2 | X₁ = 0 | X₂ = 40 | P(0;40), P(40;0) |
| X₁ = 40 | X₂ = 0 | |
3 | X₁ = 0 | X₂ = 30 |P(0;30), P(90;0) |
| X₁ = 90 | X₂ = 0 | |

1X₁ + 1X₂=40

1X₁ + 3X₂= 90

2X₁ + 1X₂=70

| | X₁+X₂=40 | |
Reemplazando | | -X₁-3X₂=-90 | |
MAX!Q(X)=4(15)+6(25) | | | |
Q(X)= 210 | | -2X₂=-50 | |
| | X₂=25 | X₁=15 |
| | | |
FUNCION CANÓNICA
-[MIN!-Q(X)]= -4X₁-6X₂+0X₃+0X₄+0X₅
X₁+X₂+X₃ = 120000
X₁ +X₄ =80000
X₂ -X₅ =40000
C.N.N.X₁;X₂;X₃;X₄;X₅≥0

VB | X₁ | X₂ | X₃ | X₄ | X₅ | b |
X₁ | 2 | 1 | 1 | 0 | 0 | 70 |
X₂ | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 40 |
X₃ | 1 | 3 | 0 | 0 | 1 | 90 |
  | 0,4 | -6 | 0 | 0 | 0 | 0 |
VNB=0 | |
X₁,X₂=0 | |
VB: Ax=b | |
X₄=40 | X₅=90 |
X₃=70 | Q(X)= 0 |

VB | X₁ | X₂ | X₃ | X₄ | X₅ | b |
X₁ | 1 2/3 | 0 | 1 | 0 | - 1/3 | 40 |
X₂ | 2/3 | 0 | 0 | 1 | - 1/3 | 10|
X₂ | 1/3 | 1 | 0 | 0 | 1/3 | 30 |
  | -2 | 0 | 0 | 0 | 2 | 180 |

VNB=0 | |
X₁,X₅=0 | |
VB: Ax=b | |
X₂=30 | X₄=10 |
X₃=40 | Q(X)= 180 |

VB | X₁ | X₂ | X₃ | X₄ | X₅ | b |
X₁ | 0 | 0 | 1 | 2 1/2 | 1/2 | 15 |
X₁ | 1 | 0 | 0 | 1 1/2 | - 1/2 | 15 |
X₂ | 0 | 1 | 0 | - 1/2 | 1/2 | 25 |
  | 0 | 0 | 0 | 3 | 1| 210 |

VNB=0 | |
X₄,X₅=0 | |
VB: Ax=b | |
X₁=15 | X₃=15 |
X₂=25 | Q(X)= 210 |

PROBLEMA 20
Una dieta debe contener al menos 16 unidades de carbohidratos y 20 de proteínas. El alimento A contiene 2 unidades de carbohidratos y 4 de proteínas; el alimento B contiene 2 unidades de carbohidratos y 1 de proteínas. Si el alimento A cuestas $ 1,20 por unidad y el B $ 0,80 porunidad. ¿Cuántas bolsas de cada mezcla debe comprar el agricultor para minimizar el costo de satisfacer sus requerimientos de nutrientes?
ALIMENTO | CARBOHIDRATO | PROTEÍNAS | COSTO POR UNIDAD |
ALIMENTO A | 2 unidades | 4 unidades | $ 1,20 |
ALIMENTO B | 2 unidades | 1 unidad | $ 0,80 |
REQUERIMIENTO MINIMO | 16 unidades | 20 unidades | |

Función Objetivo: MIN (C) = (1,20 X₁ + 0,80 X₂)Restricciones:
2X₁ + 2X₂ ≥ 16
4X₁ + 1X₂ ≥ 20

Condición de No Negatividad: X₁ , X₂ ≥ 0
X₁ = 0 | X₂ = 18,75 | P(0;18,75), P(12,5;0) |
X₁ = 12,5 | X₂ = 0 | |

1 | X₁ = 0 | X₂ = 8 | P(0;8), P(8;0) |
| X₁ = 8 | X₂ = 0 | |
2 | X₁ = 0 | X₂ = 20 | P(0;20), P(5;0) |
| X₁ =5 | X₂ = 0 | |

2X₁ + 2X₂=16

4X₁ + 1X₂ =20

| | 2X₁+2X₂=16 | |
Reemplazando | |-8X₁-2X₂=-40 | |
MIN!Q(X)=1,20(4)+0,80(4) | | | |
Q(X)= 8 | | -6X₂=-24 | |
| | X₂=4 | X₁=4 |
| | | |
FUNCION CANÓNICA
MIN!Q(X)= 1,20X₁+0,80X₂+0X₃+0X₄
MIN!Qᵃ(X)= Xᵃ₁+Xᵃ₂

2X₁+2X₂-X₃ +Xᵃ₁ = 16
4X₁ +X₂ -X₄ +Xᵃ₂ =20
C.N.N. X₁;X₂;X₃;X₄;Xᵃ₁;Xᵃ₂≥0
VB | X₁ | X₂ | X₃ | X₄ | Xᵃ₁ | Xᵃ₂ | b |
X₁ | -2 | 2 | -1 | 0 | 1 | 0 | 16 |
X₂ | 4 | 1 | 0 | -1 | 0...