ejercicios de radicales

Números reales pueden considerarse como puntos de una infinita línea número.En matemáticas, un número real es un valor que representa una cantidad a lo largo de una línea continua. Los números reales incluyen todos los números racionales, como el -5 entero y la fracción 4/3 y todos los números irracionales como v2 (1.41421356… la raíz cuadrada de dos, un irracional algebraica) y p (3,14159265…,un número trascendente). Números reales pueden considerarse como puntos de una infinita línea llamado el número de línea o línea real, donde los puntos correspondientes a los números enteros son equidistantes. Cualquier número real puede determinarse por una infinita posiblemente representación decimal como la de 8.632, donde cada dígito consecutivo se mide en unidades de una décima parte deltamaño del anterior. La línea real puede considerarse como una parte del plano complejo, y en consecuencia, números complejos incluyen números reales como un caso especial.

Estas descripciones de los números reales no son lo suficientemente rigurosas para los estándares modernos de matemática pura. El descubrimiento de una definición suficientemente rigurosa de los números reales — de hecho, larealización de que era necesaria una mejor definición — fue uno de los acontecimientos más importantes de las matemáticas del siglo XIX. La definición axiomática estándar actualmente es que los números reales forman el único completo totalmente ordenado campo (R, +, ·, 0 existe un entero N (posiblemente según e) tal que la distancia |x n - xm| es menor que e para todos n y m que son mayor que N. Enotras palabras, una secuencia es una sucesión de Cauchy si sus elementos xn finalmente venir y permanecer arbitrariamente cerca uno del otro.

A secuencia (xn) converge al límite x si para cualquier e > 0 existe un entero N (posiblemente según e) tal que la distancia |x n - x| es menor que e siempre que n es mayor que N. En otras palabras, una secuencia tiene límite x si sus elementos finalmenteven y permanecen arbitrariamente cerca de x.

Observe que cada secuencia convergente es una sucesión de Cauchy. Lo contrario también es cierto:

Cada sucesión de Cauchy de números reales es convergente a un número real.

Es decir, los reales están completos.

Tenga en cuenta que los números racionales no están completos. Por ejemplo, la secuencia (1, 1.4, 1.41, 1,414 1,4142, 1.41421,…),donde cada término agrega un dígito de la expansión decimal de la raíz cuadrada positiva de 2, es de Cauchy, pero no converge a un número racional. (En los números reales, en contraste, converge a la raíz cuadrada positiva de 2.)

La existencia de límites de secuencias de Cauchy es lo que hace el cálculo de trabajo y es de gran utilidad práctica. La prueba estándar numérica para determinar que siuna secuencia tiene un límite es para probar si es una sucesión de Cauchy, como límite normalmente no se conoce de antemano.

Por ejemplo, la serie estándar de la función exponencial

converge a un número real, porque para cada x las sumas

puede hacerse arbitrariamente pequeña eligiendo n suficientemente grande. Esto demuestra que la secuencia es de Cauchy, así que sabemos que la sucesiónconverge incluso si el límite no se conoce de antemano.

“El campo ordenado completo”

Los números reales son a menudo descritos como “el completo ordenado campo”, una frase que puede interpretarse de varias maneras.

En primer lugar, puede ser una orden completa de celosía. Es fácil ver que ningún campo ordenado puede completar de celosía, porque no puede tener ningún elemento más grande(dado cualquier elemento z, z + 1 es más grande), por lo que no es el sentido de que está destinado.

Además, un pedido puede completar de Dedekind, tal como se define en la sección de axiomas. El resultado de la singularidad del final de esa sección justifica utilizando la palabra «the”en la frase”campo ordenado completo”cuando este es el sentido de «completa» que significaba. Este sentido de...