Ejercicios De Series Y Suceciones

EJERCICIOS TEMA 3 SUCESIONES Y SERIES

2

EJERCICIOS TEMA 3

EJERCICIOS TEMA 3

3

SUCESIONES NUMÉRICAS
Ejercicio 1 Hallar el límite de a) an =
1 1 p 8n ln 1 + 2n sen3 n ; b) an = (n + 2) n e 2 + 5n) cos 2 n 2 (2n 6n+3

1

Solución: a) l m an = 4; b) l m an = 1:
n!1 n!1

Ejercicio 2 Hallar a) l m an =
n!1

n!en (n!) e2n ; b) l m an = n!1 nn n2n+1

2

Solución: a) l man = 1; b) l m an = 2 :
n!1 n!1

Ejercicio 3 Hallar a) l m p n2 + 2n + 3
a b c d:

n!1

p n+a n; b) l m p n!1 n+c

p n+b p (c 6= d) n+d

Solución: a) l m an = 1; b) l m an =
n!1 n!1

Ejercicio 4 Calcular los siguientes límites
1 a) l m cos n n!1 n2 +3

;

b) l m

n!1 n!1

n n+1

n
1 ln(n4

c) l m 2 + 3n4
n!1

1 3+2 ln(n+1)

; d) l m
1 2

n+2 3n3 1

3)Solución: a) L = e

1=2

; b) L = 1 ; c) L = e2 ; d) L = e e

:

Ejercicio 5 Hallar el límite de las sucesiones de término general a) an = Solución: a) e
1

1

1 n

n

; b) an =

2+n n+1

n

; c) an =

p n

n

; b) e; c) 1:

Ejercicio 6 Calcular los límites a) l m (cos 2 n)
n!1 n2 +3

; b) l m n (sen n) ; c) l m
n!1

p

n!1

n 2n n 22n

Solución: a) 1; b) 0;c) l m an =
n!1

1 p

:

Ejercicio 7 Hallar los límites siguientes a) l m Solución: a) 1; b) 1. Ejercicio 8 Calcular 1 L= lm p n!1 n Solución: 1: Ejercicio 9 Hallar el límite de las sucesiones de término general a) an = Solución: a) 2=3; b) e: p 3 n3 + 2n2 n; b) an = 1+ 1 n! + 1
n! 1

1+ 1! + 2! + : : : + n! ; b) l m n!1 n!1 n!

1 2

+

+ ::: + ln n

1 3

1 n

1 1 p +p p + 1+2 2+ 3

+p

n

1 p 1+ n

4 Ejercicio 10 Hallar el límite de las sucesiones de término general a) an b) an Solución: a) e; b) e: Ejercicio 11 Hallar el límite de las sucesiones de término general a) an = n Solución: a) ln a; b) 1: Ejercicio 12 Hallar el límite de las sucesiones de término general a) an = Solución: a) 1; b) 3=2: Ejercicio 13 Hallar el límite de las sucesiones de términogeneral a) an = Solución: a) ; b) 1=e: sen + sen + ::: + sen n ; b) an = ln n
2

EJERCICIOS TEMA 3

= =

n2 + 3n 2 n2 + n 1

n3 +2 2n2 1

ln(n2 + 5n) + ln(n2 + 6n

3)

n+2

p n

a

1 ; b) an = n5 + n4

1=n

3 + 6 + ::: + 3n ln n! ; b) an = n ln n n2

p n

n! n

SERIES NUMÉRICAS
Ejercicio 14 Estudiar el carácter de las series de término general a) an = 2 ; b) an = 2n ;c) an = ( 1)n 3n 1
1

2

Solución: a) convergente; b) divergente; c) oscilante: Ejercicio 15 De la serie
1 P

an se conoce que la sucesión de las sumas parciales (Sn ) viene dada por Sn = 3n + 2 ; 8n 2 N n+4

n=1

a) Hallar el término general an de la serie. b) Hallar el carácter de la serie. Solución: a) an =
10 (n+3)(n+4) ;

b) convergente:

Ejercicio 16 Hallar, calculando sussumas parciales, el carácter de las series
1 X p 1 n+1 a) (0.2) ; b) ; c) n(n + 1) n=1 n=1 n=1 n 1 X 1 X

p

n ; d)

n=1

1 X

( 1)n

Solución: a) convergente; b) convergente; c) divergente; d) oscilante. Ejercicio 17 Determinar el carácter de las series a)
1 1 X (2n 1)(2n + 1) X 3n ; b) 2n(2n + 2) n3 + 1 n=1 n=1

Solución: a) divergente; b) divergente. Ejercicio 18 Determinar elcarácter de la serie de término general p n n! an = n

EJERCICIOS TEMA 3 Solución: divergente. Ejercicio 19 Hallar el carácter de las series a)
1 X

5

2+

n=1

1 n

; b)

1 1 X X 3 n ; c) ( 7) 5n n=1 n=1

Solución: a) divergente; b) convergente; c) divergente.

SERIES NUMÉRICAS de TÉRMINOS POSITIVOS
Ejercicio 20 Determinar el carácter de las series
1 1 X 3+n X ln n p a) ; b) 2+ 2n5 n n=1 n=1

Solución: a) divergente; b) divergente. Ejercicio 21 Hallar el carácter de las series a)
1 1 X 3 + cos n X1 + 1 + + 2 2 ; b) 2+5 3 n (ln n) n n=2 n=1 1 n

Solución: a) convergente; b) convergente. Ejercicio 22 Determinar el carácter de las series a)
1 1 X n3 X ; b) n! n=1 n=1

1 3 5 2n 1 1 :::: 2 4 6 2n n 2n

Solución: a) convergente; b) convergente. Ejercicio 23...