ejercicios de teorema de bayes

Teorema de bayes

Ejemplo 3. 11. Referente al problema de la fábrica que produce dos tipos de reguladores A y B visto anteriormente en la aparte corresponde al Teorema de Probabilidad Total, cabe hacer el siguiente análisis: si se selecciona un regulador al azar de la producción de la fábrica y se ve que funciona bien ¿Cuál es la probabilidad de que sea del tipo B?
 
Solución
 
En estecaso el estudio se restringe a los reguladores que funcionan bien, por lo que ese evento actúa como espacio muestral reducido, o sea como evento condición. Por lo tanto, el planteamiento de la pregunta es P(B | F).
Los datos que se tienen son :
 
P(A) = 0.75     P(F | A) = 0.95
P(B) = 0.25     P(F | B) = 0.98
 
De acuerdo al Teorema de Bayes:
 

 
Podemos observar que el denominadorcorresponde al resultado obtenido al aplicar el Teorema de Probabilidad Total, lo cual debe ser así, ya que la probabilidad condicional establece que . De esta forma podemos ver que la Probabilidad
 
Total es el denominador de la fórmula del Teorema de Bayes. También podemos observar que aplicando los conceptos de la Regla de Multiplicación y del Teorema de Probabilidad Total llegamos al planteamientodel teorema de Bayes, Veamos:
 

 
 
Ejemplo 3. 12. Una fábrica que produce material para la construcción tiene 3 máquinas, a las que se les denomina A, B y C. La máquina A produce tabique, la B adoquín y la C losetas. La máquina A produce el 50% de la producción total de la fábrica, la B el 30% y la C el 20%. Los porcentajes de artículos defectuosos producidos por las máquinas son,respectivamente, 3%, 4% y 5%. Si se selecciona un artículo al azar y se observa que es defectuoso, encontrar la probabilidad de que sea un tabique.
 
Solución
 
Definamos el evento D como sea un artículo defectuoso. De acuerdo a esto tenemos que:
 
P(A) = 0.5       P(D | A) = 0.03
P(B) = 0.3       P(D | B) = 0.04
P(C) = 0.2       P(D | C) = 0.05
 
Si el artículo del que deseamos calcular laprobabilidad es un tabique, significa que es producido por la máquina A. También observamos que en la solución solamente participan los artículos defectuosos, ya que se pone por condición esta característica. Por lo tanto:
 

 

 
 
Ejemplo 3. 13. A un congreso asisten 100 personas, de las cuales 65 son hombres y 35 son mujeres. Se sabe que el 10% de los hombres y el 6% de las mujeres sonespecialistas en computación. Si se selecciona al azar a un especialista en computación ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer?
 
Solución
 
Definamos los eventos:
 
H:    Sea un  hombre
M:   Sea una mujer
E:         La persona sea especialista en computación
 
Tenemos que:
 
                
                
 
Por lo tanto:

 
 



EJEMPLO 1
En la sala de pediatría de unhospital, el 60% de los pacientes son niñas. De los niños el 35% son menores de 24 meses. El 20% de las niñas tienen menos de 24 meses. Un pediatra que ingresa a la sala selecciona un infante al azar.
a. Determine el valor de la probabilidad de que sea menor de 24 meses.
b. Si el infante resulta ser menor de 24 meses. Determine la probabilidad que sea una niña.
SOLUCIÓN:
Se definen los sucesos:Suceso H: seleccionar una niña.
Suceso V: seleccionar un niño.
Suceso M: infante menor de 24 meses.
En los ejercicios de probabilidad total y teorema de bayes, es importante identificar los sucesos que forman la población y cuál es la característica que tienen en común dichos sucesos. Estos serán los sucesos condicionados.
a. En este caso, la población es de los infantes. Y la característica encomún es que sean menores de 24 meses. Por lo tanto, la probabilidad de seleccionar un infante menor de 24 meses es un ejemplo de probabilidad total. Su probabilidad será:
 
b. Para identificar cuando en un ejercicio se hace referencia al teorema de bayes, hay que partir de reconocer esta es una probabilidad condicionada y que la característica común de los sucesos condicionantes ya ha...