Ejercicios de trigonometria

LUIS ANTONIO CERVANTES MONROY

RECTA EN EL ESPACIO
1.- Hallar la ecuación vectorial, ecuaciones paramétricas y simétricas de la recta que pasa por los puntos: a) ��2, �1,6� y ��7,9, �3� � � �5,10, �9� �� � ��, �, �� � �7 � 5���̂ � �9 � 10���̂ � ��3 � 9��� � � 7 � 5� � � � 9 � 10� � � � �3 � 9� b) ��3,5,0� y ���16,7,5� � � �19, �2, �5� �� � ��, �, �� � ��16 � 19���̂ � �7 � 2���̂ � �5 � 5��� � ��16 � 19� � � � 7 � 2� � � � 5 � 5� c) ���3,6,9� y ��5,4,2� � � �8, �2, �7� �� � ��, �, �� � �5 � 8���̂ � �4 � 2���̂ � �2 � 7��� � � 5 � 8� �� � 4 � 2� � � � 2 � 7�
��� � ��� �� ��� �� ���� �� ��� �� ��� �� ��� � ��� �� ��� ��

�

�

�

�

�

�

2.- Hallar la ecuación vectorial, ecuaciones paramétricas y simétricas de la recta que pasa por el � punto �5,7,9� y es paralela al vector� � 4�̂ � 7�̂ � 3� � � ��, �, �� � �5 � 4���̂ � �7 � 7���̂ � �9 � 3��� � � 5 � 4� �� � 7 � 7� � � � 9 � 3�
��� � ��� �� ��� �

�

�

61

LUIS ANTONIO CERVANTES MONROY

3.- Hallar las ecuaciones simétricas de la recta �� ortogonal a las dos rectas dadas y que pasa por el punto ��2,5,3� �� :
��� ��

�

��� ��

�

��� �

�� :

��� �

�

��� ��

�

��� ��

�� � ��4,�7,3� ����� �� � �3, �4, �2� ����� � �̂ �̂ � � �� ����� ����� � �� � ��4 �7 3 � � �14 � 12��̂ � �8 � 9��̂ � �16 � 21�� � �26,1,37� 3 �4 �2 �� � �26,1,37� ����� � ��, �, �� � ��2 � 26���̂ � �5 � ���̂ � �3 � 37��� � � �2 � 26� � ��5�� � � � 3 � 37�
��� �� ��� ��

���5�

4.- Encuentre una ecuación vectorial y las ecuaciones paramétricas de la siguiente recta: � Contiene al punto ��7, �2,5� y esparalela a � � �3�̂ � 7� � � ��, �, �� � ��7 � 3���̂ � ��2 � 0���̂ � �5 � 7��� � � �7 � 3� � � � �2 � � � 5 � 7�
��� �� ��� �

�

; � � �2

5.- Demuestre que las siguientes rectas son paralelas. �� : � � 1 �
��� �

�

��� �

�� :

��� �

�

��� �

�

��� �

����� �� � �1,2,3� �3,6,9� � ��1,2,3� �3,6,9� � ��, 2�, 3��

�� � �3,6,9� �����

� � 3 ; 2� � 6 ; 3� � 9 � � �3 ��� ������ ��� ���������

62

LUIS ANTONIO CERVANTES MONROY

6.- Obtenga una ecuación vectorial, ecuaciones paramétricas y simétricas de la recta que contiene a los puntos ��3, �2,1� y ��1,7,5�. � � �2, �8, �3� �� � ��, �, �� � �3 � 2���̂ � ��1 � 8���̂ � �2 � 3��� � � 3 � 2� �� � �1 � 8� � � � 2 � 3�
��� � ��� �� ��� ��

�

�

7.- Hallar la ecuación paramétrica de la recta que pasapor el punto ���3,3,1� y es paralela al � vector � � 2�̂ � 3�̂ � � � � ��, �, �� � ��3 � 2���̂ � �3 � 3���̂ � �1 � ��� � � �3 � 2� � � � 3 � 3� � � � 1��
��� �

�

��� �

�1��

8.- Obtener la ecuación vectorial, paramétrica y simétrica de la recta que pasa por los puntos ��2, �1,8� y ��5,6, �3� � � �3,7, �11� �� � ��, �, �� � �2 � 3���̂ � ��1 � 7���̂ � �8 � 11��� � � 2 � 3� �� � �1 � 7�� � � 8 � 11�
��� � ��� � ���

�

� ���

9.- Encontrar un vector que sea paralelo a la recta cuyas ecuaciones paramétricas son: � � 4 � 9� , � � �14 � 5� , � � 1 � 3� � � �9,5, �3� �� � � �18,10, �6� �

63

LUIS ANTONIO CERVANTES MONROY

10.- Determine cuáles de las siguientes rectas son ortogonales y cuales son paralelas. a) � � 1 � 9� , � � 12� , � � 2 � 6� b) � � 2� , � � �3� , � �3 � �
� �

c) � � 1 � � , � � 4� , � � 4� d)
��� ��

�

��� �

�

��� ��

e) � � 5 � � , � � 3� , � � 3 � 2�

�� � �9,12, �6� , �� � �2, �3, � � , �� � �1,4,4 � , �� � ��3,4, �2 � , �� � �1,3, �2 � ����� ����� ���� ����� ���� �� · �� � �9,12, �6� · �2, �3, � � � 18 � 36 � 9 � 0 ����� ����� �� · �� � �9,12, �6� · �1,4,4 � � 9 � 48 � 24 � 0 ����� ���� �� · �� � �9,12, �6� · ��3,4, �2� � �27 � 48 � 12 � 0 ����� ����� �� · �� � �9,12, �6� · �1,3, �2 � � 9 � 36 � 12 � 0 ����� ���� ����� ���� �� · �� � �2, �3, �� · �1,4,4 � � 2 � 12 � 6 � 0 ����� ����� �� · � � � �2, �3, � · ��3,4, �2 � � �6 � 12 � 3 � 0 �� · �� � �2, �3, �� · �1,3, �2 � � 2 � 9 � 3 � 0 ����� ���� �� ����� ���� · �� � �1,4,4� · ��3,4, �2� � �3 � 16 � 8 � 0 ���� ���� �� · �� � �1,4,4� · �1,3, �2� � 1 � 12 � 8...