ejercicios de vibraciones mecanicas

Capítulo II
VIBRACIONES Mecánicas

Vibraciones Mecánicas

Física General II

2.1

Optaciano Vásquez García

INTRODUCCIÓN
Las vibraciones mecánicas se refieren a la oscilación de un cuerpo o un sistema
mecánico alrededor de su posición de equilibrio. Algunas vibraciones son deseables,
como por ejemplo el movimiento pendular que controla el movimiento de un reloj, o
la vibración deuna cuerda de un instrumento musical. En cambio en muchas
aplicaciones mecánicas no se desea la presencia de las vibraciones. Así por ejemplo la
vibración excesiva de máquinas y estructuras puede ocasionar que se aflojen las
uniones y las conexiones llegando en algunos casos a producir el colapso de la
estructura.
El estudio de las vibraciones es muy amplio de tal manera que existe unconjunto de
publicaciones e investigaciones destinados al tema. Nuestra intención en este trabajo
es presentar los principios básicos de las vibraciones que deben ser entendidos por los
alumnos de ciencias e ingeniería y que sirven de base para el estudio de otros cursos
de su especialidad. En este sentido solo estudiaremos las vibraciones con un solo
grado de libertad, es decir aquel movimiento enel cual la posición se puede expresar
con una sola coordenada por ejemplo x, o y en la figura 2.1a, o 2.1b y por θ en el
movimiento pendular figura 2.1c.

(a)
(b)
(c)
Figura 2.1. Vibraciones mecánicas con una sólo grado de libertad.
Las dos componentes básicas en toda vibración son la masa y la fuerza recuperadora.
Esta última que con frecuencia es proporcionada por un mecanismo elástico,tiende a
regresar a la masa a su posición de equilibrio cuando ella es separada de dicha
posición y liberada. En forma general las vibraciones se clasifican en vibraciones
libres y vibraciones forzadas. Las primeras son originadas y mantenidas por fuerzas
elásticas o las gravitatorias y las segundas son producidas por fuerzas periódicas
aplicadas exteriormente.
Las vibraciones libres yforzadas se dividen a su vez en amortiguadas y sin
amortiguamiento. Cuando las fuerzas que se oponen a la fuerza recuperadora son
despreciables se dice que la vibración es sin amortiguamiento. Cuando las fuerzas
como el rozamiento del tipo viscoso no es despreciable se denominan vibración con
amortiguamiento
Es sabido que en todo sistema real está presente las fuerzas disipativas como elrozamiento que tiende a extinguir la vibración. Sin embargo, en muchos sistemas la
pérdida de energía debido al rozamiento es tan pequeña que a menudo pueden ser
despreciables resultando entonces una vibración libre.

64

Física General II

2.2

Vibraciones Mecánicas

Optaciano Vásquez García

VIBRACIONES LIBRES NO AMORTIGUADAS DE UNA PARTÍCULA.
Consideremos una partícula de masa sujeta aun resorte ideal de rigidez k tal como se
muestra en la figura 2.2. Si el movimiento descrito por m es vertical, la vibración es de
un solo grado de libertad. Cuando m está en equilibrio estático, las fuerzas que actúan
sobre ella son el peso, W = mg y la fuerza elástica Fe  k st . Si se aplica las
ecuaciones de equilibrio al DCL, se tiene

 Fx

0

mg  k st  0

(2.1)

Siahora se desplaza a m un desplazamiento xm menor que δst desde la posición de
equilibrio y se suelta sin velocidad inicial la partícula se moverá hacia arriba y hacia
abajo alrededor de la posición de equilibrio generando de esta forma una vibración
libre.
Para determinar las ecuaciones que gobiernan a la vibración consideremos a la
partícula en una posición arbitraria x medida a partir de laposición de equilibrio como
se muestra en la figura 2.2b,

Figura 2.2. Diagrama de cuerpo libre de m: (a) en equilibrio estático y (b) en
movimiento.
Del diagrama de cuerpo libre y cinético se observa que la ecuación de movimiento de
la masa es

 Fx  ma x
mg  k  st  x   m
x
Al remplazar la ecuación (1) en (2), resulta
65

(2.2)

Física General II

Vibraciones Mecánicas...