ejercicios de viga conjugada

INGENIERIA CIVIL-RESISTENCIA DE MATERIALES

1.ENCUENTRE LA DEFLEXION EN EL ETREMO DEL VOLADIZO

=−

−

#

#

#

!
Σ

=F
=

&

−
=
= # B
8
8

T* ' = F
,' =
,

& / + 5#0 =

=−

;
8B:

#

= θ5 =

−
:B

8

−
=
:B

8

; 
 
 B 

:

1

INGENIERIA CIVIL-RESISTENCIA DE MATERIALES

2.

(

&F;
.#FFS

Σ

"

= H − &F
=F

−HF/&F0 +
=

" %

:

&.HF

Q" <

,

− &F

#H C H 
H
&#%H C H  H 
 H +  + &#%H C H C /#%H0 +
 +
# 
8
# 8

= &#H &F − : #

θ = HF &F − : "

2

=F

INGENIERIA CIVIL-RESISTENCIA DE MATERIALES

3. 4

) "

*5

"

4' 4

%

"

3

INGENIERIA CIVIL-RESISTENCIA DE MATERIALES

Q" <

=

"

=F

Σ

=F

#
8 C # #  +
 8 8  8
#
8&
# 8 B
+
=
& #
#;
B&

#
#
# & #  8
8 C # #  = F
C
−


 8 8 
8 # 8 
#

#
8

=
=

;
:

=

−

=−
−

#
8

8
:

−

8

−

#;
8 :

=−

4

INGENIERIA CIVIL-RESISTENCIA DE MATERIALES

4. 4

*3 9

=
) "

(

%9

( %

"

#

4

−

− 5#

*5

.Q"

%

"

$ 4 ,.4),. 5# , *'.* >

&

&
#

&
E=

&

8

E=
#

8
= E

#
#

B

*=E =

E
+
8

#

8

&

#

8

#

8

+#

#
#
&

& #



8

&
# +#
#
#

B

"

+

M # + M 8 = M&
#

+



8

#







&

&
# +#

#



&

8

'3

INGENIERIA CIVIL-RESISTENCIA DE MATERIALES
para la siguiente viga:

5.

60 KN

2.0 m.

40 KN

1.0 m.
4.0 m.

•

Comoprimer paso se construye los diagramas de cortante y momento de la viga

real.

∑M
∑F
•

y

A

= 0 = −60 ⋅ 2 − 40 ⋅ 3 + RD ⋅ 4

= 0 = −60 − 40 + 60 + R A

→

→

RD = 60 KN

R A = 40 KN

Conocido el diagrama de momentos de la viga real se procede a cargar la viga

conjugada con el diagrama M/EI, Se deben tener en cuenta las condiciones de apoyo
que tendrá la viga conjugada.Analizando la viga real, tanto el apoyo A como en el
apoyo D son apoyos simples los cuales permiten que los extremos roten. Estas
rotaciones son cortantes en la viga conjugada y se representan como apoyos simples.

80
EI
60
EI

RA = θ A

•

Cálculo de θA y θD:

9

RD =θ D

INGENIERIA CIVIL-RESISTENCIA DE MATERIALES

La rotación en el nodo A y en el nodo D son iguales a lasreacciones en el punto A ( R A )

y en el punto D ( RD ) de la viga conjugada, éstas se calculan aplicando en el diagrama
de cuerpo libre de la viga conjugada las ecuaciones básicas de equilibrio.
Para facilitar los cálculos se divide el diagrama M/EI en 4 secciones y se calcula el valor
de la fuerza de cada sección y su punto de aplicación con respecto al nodo B.

2

3
1

4
X1
X2
X3X4

Sección

Figura

Fuerza (Rad.)

Punto de Aplicación (m)*

↓ F1 =

1
80
80
⋅ (2)( ) =
2
EI
EI

2

↓ F2 =

1
20
10
⋅ (1)( ) =
2
EI
EI

X 2 = 1.67

3

↓ F3 = (1)(

60
60
)=
EI
EI

X 3 = 1.5

4

↓ F4 =

1

1
60
30
⋅ (1)( ) =
2
EI
EI

X 1 = 2.67

X 4 = 0.67

* Las distancias Xi son medidas desde el apoyo D hasta la posición de laresultante Fi

∑M

D

= (2.67) ⋅ (

RA = θ A =

∑F

y

80
10
60
30
) + (1.67) ⋅ (
) + (1.5) ⋅ (
) + (0.67) ⋅ (
) − 4 ⋅ (RA ) = 0
EI
EI
EI
EI

85.1
85.1
=
= 8.51x10 −3 rad
EI
10000

10
60
30 ⎤
⎡ 80
)+(
)+(
)+(
) ⎥ + 8.51x10 −3 + ( R D ) = 0
= − ⎢(
EI
EI
EI
EI
⎣
⎦

R D = θ D = 9.49 x10 −3 rad

10

INGENIERIA CIVIL-RESISTENCIA DE MATERIALES

•Cálculo de θB:

La rotación en el punto B de la viga real ( θB ) es igual al cortante en el punto B de la
viga conjugada ( VB ). Para esto se analiza el diagrama de cuerpo libre de la viga
conjugada a la izquierda del punto B:

F1

VB

1

MB

2 .0 m .

RA

∑F

y

= R A − F1 + VB = 0

⎛ 80 ⎞
V B = ⎜ ⎟ − R A = 8.0 x10 −3 − 8.51x10 −3 = −5.1x10 − 4 rad .
⎝ EI ⎠

V B = θ...