Ejercicios de teor´ia de colas

Ejercicios de Teor´a de Colas ı
Investigaci´ n Operativa o Ingenier´a Inform´ tica, UC3M ı a Curso 06/07
1. Demuestra que en una cola M/M/1 se tiene: L= Soluci´ n. o
∞

ρ . 1−ρ

L=
n=0 ∞

npn nρn (1 − ρ)
n=0 ∞ ∞

= =
n=0 ∞

nρn −
n=0

nρn+1

= =ρ

ρn
n=1 ∞

ρn
n=0

=

ρ . 1−ρ

2. Demuestra que en una cola M/M/1 se tiene: Lq = Soluci´ n. o Lq = λWq = λ ρ2 . 1−ρρ ρ2 = . µ(1 − ρ) 1−ρ

3. En un servidor de la universidad se mandan programas de ordenador para ser ejecutados. Los programas llegan al servidor con una tasa de 10 por minuto. El tiempo medio de ejecuci´ n de cada programa o es de 5 segundos y tanto los tiempos entre llegadas como los tiempos de ejecuci´ n se distribuyen exo ponencialmente. a) ¿Qu´ proporci´ n de tiempo est´ el servidordesocupado? e o a 1

b) ¿Cu´ l es el tiempo esperado total de salida de un programa? a c) ¿Cu´ l es el n´ mero medio de programas esperando en la cola del sistema? a u Soluci´ n. El sistema es M/M/1 con λ = 10 trabajos por minuto y µ = 12 trabajos por minuto. Se o asumir´ que el sistema es abierto y que la capacidad es infinita. Como ρ = 10/12 < 1, el sistema a alcanzar´ el estado estacionario y sepueden usar las f´ rmulas obtenidas en clase. a o a) El servidor estar´ desocupado 1 − 5/6 = 1/6 del total, esto es, 10 segundos cada minuto (ya a que el ordenador est´ ocupado 5 × 10 = 50 segundos por minuto). a b) Tiempo medio total es W =
1 µ(1−ρ)

=

1 12(1−5/6)

= 1/2 minuto por programa.
ρ2 1−ρ

c) El n´ mero medio de programas esperando en la cola es Lq = u

= 4.16 trabajos.

4.La ventanilla de un banco realiza las transacciones en un tiempo medio de 2 minutos. los clientes llegan con una tasa media de 20 clientes a la hora. Si se supone que las llegadas siguen un proceso de Poisson y el tiempo de servicio es exponencial, determina a) El porcentaje de tiempo en el que el cajero est´ desocupado. a b) El tiempo medio de estancia de los clientes en la cola. c) La fracci´ nde clientes que deben esperar en la cola. o Soluci´ n. Sistema M/M/1 con λ = 20 y µ = 30. o a) P (cajero ocioso) = p0 = 1 − ρ = 1/3. El 33 % de tiempo el cajero est´ ocioso. a b) Wq = 1/15 = 4 minutos. c) L = 2, Lq = 4/3, por tanto la fracci´ n de clientes que deben esperar en la cola es Lq /L = o 2/3 ≡ 66.6 %. 5. Una tienda de alimentaci´ n es atendida por una persona. Aparentemente el patr´ n dellegadas de o o clientes durante los s´ bados se comporta siguiendo un proceso de Poisson con una tasa de llegadas de a 10 personas por hora. A los clientes se les atiende siguiendo un orden tipo FIFO y debido al prestigio de la tienda, una vez que llegan est´ n dispuestos a esperar el servicio. Se estima que el tiempo que a se tarda en atender a un cliente se distribuye exponencialmente, con untiempo medio de 4 minutos. Determina: a) La probabilidad de que haya l´nea de espera. ı b) La longitud media de la l´nea de espera. ı c) El tiempo medio que un cliente permanece en cola. Soluci´ n. Sistema M/M/1 con λ = 10 y µ = 15. o a) P (l´nea de espera) = 1 − p0 − p1 = 4/9. ı b) Lq = 4/3 personas en cola. c) Wq = 2/15 horas = 8 minutos de media en cola.

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6. En una f´ brica existe unaoficina de la Seguridad Social a la que los obreros tienen acceso durante a las horas de trabajo. El jefe de personal, que ha observado la afluencia de obreros a la ventanilla, ha solicitado que se haga un estudio relativo al funcionamiento de este servicio. Se designa a un especialista para que determine el tiempo medio de espera de los obreros en la cola y la duraci´ n o media de la conversaci´ n quecada uno mantiene con el empleado de la ventanilla. Este analista o ´ llega a la conclusi´ n de que durante la primera y la ultima media hora de la jornada la afluencia es o muy reducida y fluctuante, pero que durante el resto de la jornada el fen´ meno se puede considerar o estacionario. Del an´ lisis de 100 periodos de 5 minutos, sucesivos o no, pero situados en la fase a estacionaria, se...