Ejercicios De Álgebra Lineal

FIUNA00P1b000911:
1. Si H es el conjunto solución de la ecuación lineal c1 x1 + c2 x2 + c3 x3 +...+ cn xn = b con el vector incógnita x = (x1, x2, x3,...,xn) y vector de coeficientes u = (c1, c2, c3,..., cn) ( 0 en Rn, Demostrar que el segmento dirigido PQ, (P, Q ( H es ortogonal al vector de coeficientes u.

2. Para el sistema lineal:
k x + y + z = 1x + k y + z = 1
x + y + k z = 1
i) Determinar el valor de k para que el sistema tenga solución única.
ii) Discutir las otras posibilidades de solución.

3. Si V = {w / w = (x, y), x, y ( R}, con las siguientes operaciones:
u + v = (a c , b d) ( u, v ( V
k u = (ak , bk)
i) donde u = (a, b) ( V ; v = (c , d) ( V y k ( R.
ii) Verificar si V es o no un espacio vectorial.

FIUNA00P2b001123:

4. Sea V el espacio vectorial de los polinomios sobre R, de grado menor o igual a 2, con producto interno definido por ( f , g ( = [pic]. Encontrar una base del subespacio W ortogonal a h(t) = 2t + 1.

5. Diagonalizar la matriz A mediante una matriz ortogonal P[pic]

6. En R3 se define la aplicación lineal:
T:R3 (R3 ; T (a, b, c) = (a – b + c, 2a + b – c, – a – 2b + 2c).
Hallar una base y la dimensión para ImT y KerT.

FIUNA00F1b001218:

7. Hallar las relaciones entre a , b y c para que los vectores:
(1, a, a2) ; (1, b, b2) ; (1, c, c2)
constituyan una base en R3.

8. Demostrar la relación: Ι(u, v (Ι2 ( (u, u ((v, v ( ( relación de Cauchy-Schwarz )

9. Sea P la matriz de cambio de base desde una base S1 hasta otra S2 y A la representación matricial de un producto interno relativa a la base S1. Establecer la expresión de la representación matricial de dicho producto interno relativa a la base S2.

10. Una matriz real simétrica A, de orden tres, admite como valores propios a: 5, conmultiplicidad geométrica uno, y 2, con multiplicidad geométrica dos. Si (1, 1, 1) es un vector propio asociado al valor propio 5, hallar la inversa de A.

FIUNA00F2b001226:

11. Establecer las relaciones entre a , b y c para las distintas posibilidades de solución del siguiente sistema:
x – 2y + z = a
–x + y + 3z = b–2x + y + 10z = c

12. Dados el conjunto de vectores S = {(1, 0, 3); (2, 1, 4)} ( R3, hallar una base de R3 que contenga S.

13. Si la matriz A es una matriz cuadrada similar a otra matriz B, demostrar que Ak es similar a Bk.

14. Dada la aplicación lineal A:R4(R3, representada por:

Encontrar una base y la dimensión para núcleo y la imagen y de A.FIUNA01P1a010321:

15. Si la matriz ampliada de un sistema lineal de ecuaciones es:
[pic]
Determinar para que valores de a el sistema admite solución.
i) Si se considera el sistema homogéneo asociado, determinar para que valores de a el sistema admite soluciones distintas de la trivial.

16. Hallar la dimensión y una base para la solución general W delsistema de ecuaciones.
2x – 4y + 3z – s + 2t = 0
3 x – 6y + 5z – 2s + 4t = 0
5x – 10y + 7z – 3s + t = 0

17. Establecer la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, -5, 7) y es perpendicular al plano 2x – 3y + 7z = 4.

FIUNA01P2a010505:

18. Sea V = { x | x ( R } y K = R. Si se definen las siguientes operaciones, (x, y ( V y (k ( K:
Sumade x e y, como : xy;
Producto por escalar, como: xk
Imponer condiciones sobre R para que V sea un espacio vectorial.

19. Sea U el subespacio de R5 generado por:
(1, –1, –1, –2, 0) ; (1, –2, –2, 0, –3) ; (1, –1, –2, –2, 1) ; y ;
W el generado por (1, –2, –3, 0, –2) ; (1, –1, –3, 2, –4) ; (1, –1, –2, 2, –5) ;
Determinar:...